Определение перемещений

Как говорилось выше, при косом изгибе изогнутая ось лежит в плоскости, которая не совпадает с силовой линией, т.е. между плоскостью изгиба и силовой плоскостью образуется некоторый угол.

Для определения этого угла рассмотрим деформацию балки (рис. 21.3.1) при косом изгибе.

Применяя принцип независимости действия сил и формулу (пример 19.3.1), определим:

– прогиб (вертикальное смещение центра тяжести сечения) (рис. 21.3.2):

(21.3.1)

– горизонтальное смещение центра тяжести (рис. 21.3.2):

(21.3.2)

Полный прогиб f (рис. 21.3.2) определим по правилу параллелограмма:

(21.3.3)

Направление полного прогиба f можно определить углом β:

(21.3.4)

При сравнении формул (21.3.7) и (21.3.4), видно, что β = φ, т. е. перемещение центра тяжести сечения при косом изгибе происходит в плоскости, перпендикулярной нейтральной плоскости.

21.4. Изгиб силами, не лежащими в одной плоскости

(пространственный косой изгиб)

В практике часто встречаются случаи, когда внешние силы, вызывающие изгиб, лежат в разных плоскостях (рис. 21.4.1).

В этом случае в произвольном сечении x действуют изгибающие моменты: M_z = F ₁ x, M_y = F ₂(x – a).

Тогда полный момент в сечении x, равный , действует в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных центральных плоскостей, т. е. справедливы формулы (21.2.7), (21.2.8).

Следует помнить, что плоскость действия полного момента (силовая плоскость) проходит через центр тяжести сечения, и те четверти, в которых моменты M_z и M_y вызывают напряжения одного знака, например, для рис. 21.4.1 имеем (рис. 21.4.2):

Если внешние силы не лежат в одной плоскости, то наибольшие изгибающие моменты M_{z max} и M_{y max} возникают в различных сечениях. Тогда опасным сечением будет то сечение, в котором сочетание действующих изгибающих моментов будет вызывать наибольшие нормальные напряжения, т. е.

Пример 21.4.1. Балка с поперечным сечением нагружена системой сил (рис. 21.4.3, а, б). Вычислить напряжения в точках 1, 2, 3, 4 опасного сечения и определить в этом сечении положение нейтральной линии (размеры поперечного сечения даны в см).

Решение:

1. Рассмотрим схему изгиба балки относительно оси z (рис. 21.4.3, в) и построим эпюру M_z (рис. 21.4.3, г); схему изгиба относительно оси y (рис. 21.4.3, д) и построим эпюру M_y (рис. 21.4.3, е).

Из эпюр видно, что опасным сечением является сечение C, где M_z = 60 кНм; M_y = 60 кНм.

2. Определим положение центра тяжести сечения (рис. 21.4.4).

Разобьем сечение на три площади:

А ₁ = 20 ∙ 5 = 100 см²;

А ₂ = 4 ∙ 10 = 40 см²;

А ₃ = 12 ∙ 5 = 60 см².

Положение главной центральной оси z относительно случайной оси определим по формуле:

Ось симметрии y является второй главной центральной осью.

3. Определим моменты инерции сечения относительно главных центральных осей по формулам параллельного переноса (8.2.1) и (8.2.2):

.

4. Определим положение нейтральной линии в опасном сечении:

Рис. 21.4.3

Для определения знаков направлений покажем схему деформации балки в опасном сечении (рис. 21.4.5).

Определим напряжения в точках 1, 2, 3, 4 опасного сечения:

Из расчета видно, что в точке 2 возникает наибольшее сжимающее напряжение; в точке 4 – наибольшее растягивающее напряжение, т. е. эти точки являются опасными.

Дата добавления: 2014-01-07