Основное уравнение теории удара

Уравнения Лагранжа

Для определения уравнений движения в обобщенных координатах обратимся к общему уравнению динамики:

.

Пусть система имеет k степеней свободы. Тогда

,

.

Подставляя в общее уравнение динамики, получим:

или

,

где – обобщенные силы инерции, которые равны

.

Так как, то

(1)

Выразим обобщенную силу через кинетическую энергию. Имеем

, (2)

так как

Заметим, что

,

.

Подставим полученные выражения в уравнение (2):

.

Тогда уравнение (1) примет вид:

,

где Т – кинетическая энергия.

Аналогичные выражения получаем для всех остальных обобщенных координат. Поскольку, то

Это дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа II-го рода (уравнения в частных производных). Число этих уравнений равно числу степеней свободы системы.

Основные преимущества использования уравнений Лагранжа при решении задач:

1) количество уравнений не зависит от количества тел, входящих в систему;

2) данный способ позволяет исключить из рассмотрения все неизвестные реакции связей.

Пример. Механизм робота-манипулятора состоит из колонны для вертикального перемещения, устройства для горизонтального перемещения, состоящего из звеньев 1 и 2, и выдвигающейся горизонтальной руки со схватом 3. Массы звеньев механизма т ₁, т ₂ и т ₃. Движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно F ₀₁, F ₁₂ и F ₂₃. Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь.

Решение.

Рассматриваемая механическая система имеет три степени свободы. Выберем обобщенные координаты:, тогда обобщенные скорости выразятся как

Вычислим кинетическую энергию системы. Т.к. звенья 1, 2 и 3 двигаются поступательно, то

Вычислим частные производные от кинетической энергии:

;

;

,

;;.

Далее, дифференцируя по времени, получим:

Для определения обобщенной силы сообщим системе перемещение. При этом работу совершит движущая сила, направленная вверх, и силы тяжести всех 3-х звеньев:

.

Многочлен, стоящий в квадратных скобках, является обобщенной силой:.

Аналогично вычислим обобщенные силы и:

, тогда.

Силы тяжести не совершают работу, т.к. движение вдоль оси y происходит по горизонтали, поэтому

,

откуда.

Запишем полученные дифференциальные уравнения движения:

Лекция 16
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА
ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Основное уравнение теории удара. Общие теоремы теории удара. Коэффициент восстановления при ударе и его экспериментальное определение

При движении тела под действием сил, которые до сих пор рассматривались, скорости точек тела изменяются непрерывно, т. е. за любой бесконечно малый промежуток времени скорость получает бесконечно малое приращение. Этот результат непосредственно следует из теоремы об изменении количества движения.

Действительно, допустим, имеется точка с массой т, на которую действуют силы (К = l, 2,..., п). Представим импульс любой из этих сил за промежуток времени t в виде, где есть среднее значение силы за время t. Тогда теорема об изменении количества движения этой точки дает:

.

Отсюда видно, что, если время t бесконечно мало (стремится к нулю), то при обычных силах и приращение скорости будет тоже величиной бесконечно малой (стремящейся к нулю).

Однако, если в числе действующих сил будут очень большие силы (порядка 1/ τ), то приращение скорости за малый промежуток времени окажется величиной конечной.

Явление, при котором скорости точек тела за очень малый промежуток времени t изменяются на конечную величину, называется ударом.

Силы, при действии которых происходит удар, будем называть ударными силами. Очень малый промежуток времени t, в течение которого происходит удар, назовем временем удара.

Так как ударные силы очень велики и за время удара изменяются в значительных пределах, то в теории удара в качестве меры взаимодействия тел рассматривают не сами ударные силы, а их импульсы, которые называют ударными импульсами. Величина ударного импульса определяется равенством:

(1)

Из определения следует, что ударный импульс будет величиной конечной. Импульсы неударных сил за время t будут величинами очень малыми и ими можно пренебречь. Будем в дальнейшем обозначать скорость точки в начале удара, а скорость в конце удара. Тогда равенство (1) примет вид:

. (2)

Этот результат выражает теорему об изменении количества движения точки при ударе: изменение количества движения материальной точки за время удара равно сумме действующих на точку ударных импульсов.

Уравнение (2) является основным уравнением теории удара.

Отметим, что перемещение точки за время удара будет равно, где – среднее значение скорости за время t. Так как t очень мало, то это перемещение будет также величиной очень малой, которой практически можно пренебречь. Итак, из всех полученных результатов вытекает:

1) действием неударных сил (таких, например, как сила тяжести) за время удара можно пренебречь;

2) перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь и считать тело во время удара неподвижным;

3) изменение скоростей точек тела за время удара определяется основным уравнением теории удара (2).

Дата добавления: 2014-01-07