Экспериментальное определение коэффициента восстановления

Величина k определяется экспериментально. Рассмотрим, например, шар, свободно падающий на плиту с предварительно измеренной высоты Н. Определим высоту его подъема h после удара.

Тогда по формуле Галилея, а и, следовательно,.

Для некоторых материалов значения коэффициента восстановления (при скоростях соударения порядка 3 м/сек) составляют: дерево о дерево – 0,5, сталь о сталь – 0,56, слоновая кость о слоновую кость – 0,89, стекло о стекло – 0,94.

Прямой центральный удар двух тел (удар шаров)

При соударении двух тел удар называется прямым и центральным, если общая нормаль к поверхностям тел в точке касания проходит через их центры масс и если скорости центров масс в начале удара направлены по этой общей нормали. Таким, в частности, будет удар двух однородных шаров, центры которых до удара движутся вдоль одной и той же прямой. В противном случае удар называется косым.

Обозначим массы соударяющихся тел т ₁ и т ₂, скорости их центров масс в начале удара V ₁ и V ₂, а в конце удара – u ₁ и u ₂. Проведем через центры масс C ₁ и С ₂ координатную ось х, направленную всегда от C ₁ к С ₂. Тогда, чтобы произошел удар, должно быть выполнено условие (иначе первое тело не догонит второе). Кроме того, должно выполняться условие, так как ударившее тело не может опередить ударяемое. Легко проверить, что эти неравенства выполняются и в случаях, когда оба тела движутся влево или навстречу друг другу.

Считая m ₁, т ₂, и k известными, найдем. Для этого применим теорему об изменении количества движения к соударяющимся телам, рассматривая их как одну систему. Тогда ударные силы, действующие между телами, будут внутренними, и имеет место выражение.

В результате первое из уравнений (4) дает

.

Второе уравнение найдем из выражения для коэффициента восстановления. При соударении двух тел интенсивность удара (ударный импульс) зависит не от абсолютного значения скорости каждого из тел, а от того, насколько скорость ударяющегося тела больше скорости тела ударяемого, т. е. от разности (скорости сближения). Поэтому при ударе двух тел, если учесть, что всегда, а, получим:

(6)

или

. (7)

Уравнение (7) позволяет решить поставленную задачу. Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, найдем, составив уравнение для какого-нибудь одного из тел, например, для первого:

.

Последнее равенство следует из третьего закона Ньютона.

Рассмотрим два предельных случая.

Абсолютно неупругий удар (k = 0). В этом случае из уравнения (6) находим, что оба тела после удара движутся с одной и той же скоростью:

.

Действующий на тело ударный импульс при этом равен

.

Абсолютно упругий удар (k = 1). В этом случае будем иметь:

Действующий на тело ударный импульс при этом равен

.

Как видим, при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое больше, чем при абсолютно неупругом. В частном случае, когда т ₁ = т ₂ = т, получаем

.

Таким образом, два тела одинаковой массы при абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями.

Пример. Два шара с массами т ₁ и т ₂ подвешены так, как показано на рисунке. Первый шар отклоняют от вертикали на угол a и отпускают без начальной скорости. После удара второй шар отклоняется на угол b. Найти коэффициент восстановления для шаров при ударе.

Решение.

По данным задачи можно определить скорость V ₁ центра первого шара в начале удара и скорость V ₂ центра второго шара в конце удара. По теореме об изменении кинетической энергии (на перемещении первого шара) находим:

,

где – расстояние центра шара от точки подвеса.

Отсюда

.

Аналогично находим, что

.

Вследствие того, что в нашем случае V ₂ = 0, имеем:

.

Исключая из этих уравнений u _{1 x} и замечая, что, а, получим:

.

Отсюда окончательно находим:

.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики: учеб. для втузов / С. М. Тарг – 12-е изд., стереотип. – М.: Высшая школа, 1998. – 415 с.

2. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики: учебник для втузов. В 2-х т. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. – 3-е изд., испр. – М., 1985 (и последующие издания).

3. Яблонский, А. А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учеб. пособие для втузов / А. А. Яблонский, С. С. Норейко, С. А. Вольфсон и др. / под ред. А. А. Яблонского. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 367 с. (и последующие издания).

4. Мещерский, И. В. Сборник задач по теоретической механике: учеб. пособие для втузов / И. В. Мещерский / под ред. Н. В. Бутенина, А. И. Лурье, Д. Р. Меркина. – 36-е изд., испр. – М.: Наука, 1986. – 448 с.

5. Бать, М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для втузов. В 3-х т. / М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. – 9-е изд., перераб. – М.: Наука, Гл.. ред. физ.-мат. лит., 1990.

6. Вильке, В. Г. Теоретическая механика: учебник / В. Г. Вильке. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Изд-во МГУ, 2000. – 719 с.

7. Голубев, Ю. Ф. Основы теоретической механики: учебник для студ. высш. учеб. заведений / Ю. Ф Голубев.– 2-е изд., перераб. и доп.–М.: МГУ, 2000. – 719 с.

8. Цивильский, В. Л. Теоретическая механика: учеб. для вузов / В. Л. Цивильский. – М.: Высшая школа, 2001. – 319 с.

9. Яблонский, А. А. Курс теоретической механики: учеб. для тех. вузов / А. А. Яблонский, В. М. Никифорова. – 7-е. изд. – СПб: Лань, 1999. – 768 с.

10. Аркуша, А. И. Руководство к решению задач по теоретической механике:учеб. пособие для студ. сред. спец. учеб. заведений / А. И. Аркуша. – 7-е изд., стереотип – М.: Высшая школа, 2004. – 336 с.: ил.

11. Мещерский, И. В. Задачи по теоретической механике: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / И. В. Мещерский. – 39-е изд., стереотип. – М.: Лань, 2002. – 448 с.

12. Уиттекер, Э. Т. Аналитическая динамика / пер. с англ.– Ижевск: Изд. дом «Удмуртский университет», 1999. – 588 с.

13. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики: учебное пособие для студ. / В. И. Арнольд. – 5-е. изд., стереотип.– М.: УРСС, 2003. – 416 с.

14. Серегин, Г. В. Техническая механика. Теоретическая механика: программа, методические указания и контрольные работы / Г. В. Серегин, В. М. Потапов, Е.Н. Миронов. – Новосибирск: Изд. НГПУ, 1997. – 47 с.

15. Потапов, В. М. Основы техники: учебное пособие / В. М. Потапов, В. В. Крашенинников. – Новосибирск: Изд. НГПУ, 1999. – 52 с.

16. Потапов, В. М. Введение в прикладную механику: учебное пособие / В. М. Потапов, В. В. Крашенинников, И. Н. Лукина, Е. Н. Миронов. – Новосибирск.: изд. НГПУ, 2003. – 180 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................... 3

Лекция 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ. АКСИОМЫ СТАТИКИ 5

Лекция 2. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ........................ 11

Лекция 3. РАВНОВЕСИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ................................................................................................... 22

Лекция 4. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ............................................................ 29

Лекция 5. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА................ 40

Лекция 6. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (определение скоростей).......................................................................... 47

Лекция 7. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (определение ускорений).......................................................................... 55

Лекция 8. ДИНАМИКА ТОЧКИ................................................................. 60

Лекция 9. ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ...................... 66

Лекция 10. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ............................................................. 73

Лекция 11. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ (кинетический момент) системы относительно центра и оси....................................... 77

Лекция 12. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 82

Лекция 13. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА....................................................... 91

Лекция 14. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА – ЛАГРАНЖА (общее уравнение динамики)............. 99

Лекция 15. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА II-ГО РОДА............................ 107

Лекция 16. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ.... 116

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА...................................................... 125

Учебное издание

Александр Михайлович Красюк

Александр Всеволодович Кириллов

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Учебное пособие

Редактор Е. А. Бутина

Компьютерная верстка Е. К. Кубракова

Лицензия ЛР № 020059 от 24.03.97

Гигиенический сертификат № 54.НК.05.953.П.000149.12.02 от 27.12.02

Подписано в печать 17.12.2007. Формат бумаги 60х84/16. Печать RISO.

Объем 8 печ. л. Тираж 300 экз. Заказ № 78

Педуниверситет, 630126, г. Новосибирск, 126, Вилюйская, 28

Дата добавления: 2014-01-07