Лекция 4. Решения полей методом наложения и зеркального отображения. Частичные ёмкости

Пусть мы имеем несколько заряженных проводников с зарядами известной величины Q_i, место расположения которых нам также известно. В этом случае потенциал поля в некоторой произвольной точке будет представлять собой сумму потенциалов, создаваемых каждым из проводников в этой точке:

(2.27)

Выражение (2.27) справедливо в любой точке поля, в том числе и в месте расположения проводников с зарядами. Потенциал первого проводника определяется суммой:

j₁ = a₁₁ Q ₁ + a₁₂ Q ₂ + a₁₃ Q ₃ + a₁₄ Q ₄ + … + a_{1 n} Q_n. (2.28)

Первое слагаемое в (2.28) представляет собой потенциал первого проводника, обусловленный зарядом на самом проводнике. Второе слагаемое – потенциал на первом проводнике, обусловленный зарядом Q ₂ на втором проводнике и т.д. Коэффициенты a _mn называются потенциальными коэффициентами. Их величина зависит только от формы и взаимного расположения проводников. Так коэффициент a₁₁ численно равен потенциалу на первом проводнике при величине заряда на нем равном 1 (Q ₁ = 1), причем заряды других проводников должны равняться нулю. Коэффициент a₁₂ численно равен потенциалу на первом проводнике при величине заряда на втором проводнике равном 1 (Q ₂ = 1), причем заряды других проводников должны равняться нулю и т.д. Выражения подобные (2.28) можно записать для любого проводника:

j₁ = a₁₁ Q ₁ + a₁₂ Q ₂ + a₁₃ Q ₃ + a₁₄ Q ₄ + … + a_{1 n}Q_n

j₂ = a₂₁ Q ₁ + a₂₂ Q ₂ + a₂₃ Q ₃ + a₂₄ Q ₄ + … + a_{2 n}Q_n

j₃ = a₃₁ Q ₁ + a₃₂ Q ₂ + a₃₃ Q ₃ + a₃₄ Q ₄ + … + a_{3 n}Q_n (2.29)

……………………………………………………

j _n = a _{n 1} Q ₁ + a _{n 2} Q ₂ + a _{n 3} Q ₃ + a _{n 4} Q ₄ + … + a_nnQ_n

_{в векторной форме (2.29) имеет вид} j = a×Q.

Задача расчета потенциалов проводников сводится к определению потенциальных коэффициентов a _mn системы уравнений (2.29).

Чаще приходится решать задачу обратную рассмотренной – находить заряды проводников по известным величинам разностей потенциалов между проводниками. Линейную систему уравнений (2.29) можно переписать в следующей форме:

Q ₁ = C ₁₁×j₁ + C ₁₂×(j₁-j₂) + C ₁₃×(j₁-j₃) + … + C _{1 n} ×(j₁-j _n)

Q ₂ = C ₂₁×(j₂ -j₁)+ C ₂₂×j₂ + C ₂₃×(j₂-j₃) + … + C _{2 n} ×(j₂-j _n)

Q ₃ = C ₃₁×(j₃ -j₁)+ C ₃₂××(j₃-j₂) + C ₃₃×j₃ + … + C _{3 n} ×(j₃-j _n) (2.30)

…………………………………………………………….

Q_n = C_{n 1}×(j _n -j₁) + C_{n 2}×(j _n -j₂) + C_{n 3}×(j _n -j₃) + … + C_nn ×j _n

_{в векторной форме (2.30) имеет вид} Q = a^-1×j,

где C = a^-1 - обратная (инверсная) матрица к матрице потенциальных коэффициентов.

Коэффициенты С_mn в системе уравнений (2.30) называются частичными емкостями. Так коэффициент С ₁₁ численно равен заряду на первом проводнике, когда потенциалы всех проводников равны между собой и равны единице. Коэффициент С ₁₂ численно равен заряду на первом проводнике, когда все проводники кроме второго заземлены (их потенциал равен нулю), а потенциал второго проводника равен –1.

Потенциальные коэффициенты в (2.29) и частичные емкости в (2.30) образуют симметричные относительно главной диагонали квадратные действительные матрицы: a_mn = a _nm, C_mn = C_nm. Это свойство вытекает из самих определений потенциальных коэффициентов и частичных емкостей. Пусть на проводник под номером n поместили заряд Q_n =1, а на всех остальных проводниках заряды равны нулю. Потенциал проводника под номером m будет равен j _m = a _mnQ_n = a _mn ×1. Величина этого наведенного в проводнике m потенциала будет определяться только взаимным расположением и формой проводников m и n. Если теперь, не изменяя взаимного расположения проводников, заряд Q =1 перенести на проводник m, то потенциал, наведенный на проводнике n, будет иметь ту же величину, что ранее был на проводнике m. В результате a _mn = a _nm.

Величина частичной емкости между проводниками m и n зависит только от их формы и взаимного расположения. Частичные емкости удобно определять опытным путем.

Ёмкость проводника определяется отношением заряда на проводнике к его потенциалу. Для определения ёмкости проводника относительно земли нужно заряд на нем разделить на напряжение относительно земли.

Дата добавления: 2014-01-07