КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Структура решения уравнений переменных состояния
Рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэффициентами [14] . (10.8) Решение ее X(t) характеризует свободное поведение системы. Пусть вектор начальных условий имеет вид . (10.9) Разложим искомый вектор X(t) в степенной ряд по t: . (10.10) Дифференцируя (10.8), найдем ; и т.д. (10.11) Тогда при t=0 получим ; ; и т.д. (10.12) В итоге ряд (10.10) можно переписать в виде (10.13) Подставляя еАtX0 в исходное уравнение (10.8), легко убедиться, что (10.13) представляет собой решение. Полагая в (10.13) t=0, получим X0. Таким образом, интегрирование однородной системы (10.8) сводится к вычислению матрицы еАt и умножению ее на вектор начальных условий X0. Матрица еАt называется матричным экспоненциалом или матричной экспонентой. В теории управления она часто называется переходной матрицей состояния. Решение однородного уравнения (10.8) имеет вид . (10.14) Если движение начинается в момент времени t=t0, то решение принимает форму . (10.15) Матрица может быть представлена в виде разложения в матричный степенной ряд , 10.16) который сходится абсолютно и равномерно при любом значении t. Основные свойства матрицы еАt : 1. Матрицы и коммутируют, то есть . (10.17) 2. Матрица еАt - всегда неособенная, ее обратная матрица
(еАt )-1= е-At . (10.18) 3. Если АВ=ВА, то е(A+B)= еА еВ= еВ еА . (10.19)
4. Производная еАt . (10.20) Это означает, что матрица еАt коммутирует с A. 5. Интеграл еАt , (10.21) откуда . Если матрица А - неособенная, получим . (10.22)
Для решения неоднородного уравнения преобразуем его к виду и умножим слева на е-At . Левая часть уравнения поскольку Тогда . Интегрирование последнего выражения дает . Умножая полученное уравнение слева на еАt и учитывая свойство (10.18), получим окончательно
. (10.23) Первое слагаемое в (10.23) представляет собой решение однородного дифференциального матричного уравнения и описывает свободное движение системы, вызванное начальными условиями, второе слагаемое - вынужденное движение под влиянием внешнего воздействия U(t). Тогда полное решение системы (10.1) имеет вид . (10.24)
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 281; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |