КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Характеристики систем в пространстве состояний
Характеристики системы показывают ее принципиальные возможности. Эти возможности в значительной степени выявляются при изучении свойств системы, которые принято называть устойчивостью, наблюдаемостью, идентифицируемостью, управляемостью и адаптируемостью. Часто между наблюдаемостью и идентифицируемостью не делают различий, а адаптируемость рассматривается как частный случай управляемости. Управляемость и наблюдаемость, так же как и устойчивость, относятся к числу важнейших характеристик динамических систем. Если устойчивость характеризует свойство системы возвращаться после возмущения в положение равновесия, то управляемость характеризует возможность изменения состояния системы с помощью входных сигналов, а наблюдаемость - возможность определения состояния системы по наблюдениям за ее выходными сигналами. Устойчивость системы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность вещественных частей собственных чисел li матрицы А
Reli<0; i = 1, 2,..., n, (10.25)
где li - корни характеристического уравнения çA-lEç= 0; n - порядок системы. Для того чтобы оценить расположение спектра матрицы A относительно мнимой оси, необходимо раскрыть характеристический определитель çA-lEç и получить характеристическое уравнение n-ой степени относительно l çA-lEç= a0ln +a1ln-1 + a2ln-2 +...+ an-1l +an = 0. (10.26)
После получения характеристического уравнения в виде (10.26) обычно применяется тот или иной из известных критериев устойчивости, например, Рауса, Гурвица или Михайлова либо производится непосредственное вычисление всей совокупности корней, что в случае высокого порядка n матрицы A сопряжено со значительными трудностями и возможно лишь с помощью ЭВМ.
Кроме того, разработаны матричные критерии, позволяющие оценить устойчивость системы непосредственно по матрице A без нахождения характеристического полинома [14]. Для того чтобы система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для матрицы
G=E-2(E-A)-1 выполнялось условие Gk®0, при k®¥. (10.27)
Выполнимость необходимого и достаточного условия устойчивости можно установить по факту абсолютного убывания элементов матрицы Gk. Возведение матрицы в степень рекомендуется выполнять так, чтобы каждая последующая матрица являлась квадратом предыдущей. Управляемость системы. Система называется управляемой, если для любого начального состояния X(0)ÎRn существует управление U(t), переводящее ее за конечное время T в нулевое состояние X(T)=0 или система управляема, если существует управляющее воздействие U(t), позволяющее перевести ее за конечное время T в любое наперед заданное состояние из пространства состояний X(T)ÎRn. Наблюдаемость системы. Система называется наблюдаемой, если по наблюдениям за выходным сигналом Y(t) в течение конечного времени T можно определить ее начальное состояние X(0). Простые критерии проверки управляемости и наблюдаемости системы основаны на анализе матрицы управляемости K=[B AB A2B... An-1B] (10.28)
и матрицы наблюдаемости
L=[CT (CA)T (CA2)T... (CAn-1)T]. (10.29) Необходимым и достаточным условием управляемости системы является невырожденность матрицы управляемости
det K¹0, (10.30)
что эквивалентно условию равенства ранга матрицы К порядку n системы, то есть rank K = n. Если rank K < n, то система не полностью управляемая; если rank K = 0 - система полностью неуправляемая. Необходимым и достаточным условием наблюдаемости системы является невырожденность матрицы наблюдаемости
det L¹0. (10.31)
что эквивалентно условию равенства ранга матрицы L порядку n системы, то есть rank L = n. Если rank L < n, то система не полностью наблюдаема. Таким образом, управляемость системы определяется свойствами пары матриц A и B, а наблюдаемость - свойствами пары матриц A и C. Устойчивость системы определяется свойствами только одной матрицы A. Пример. Оценить принципиальные возможности системы автоматического управления, заданной матрицами: , , , D=[0].
Решение. Характеристический определитель матрицы A
. Решая уравнение , находим собственные числа матрицы А: l1=2, l2 = -1, l3 = -1. Система неустойчива, так как l1=2>0. Матрица управляемости
, det K=1-1=0, следовательно, система неуправляема.
Матрица наблюдаемости
, det L=1-1=0, следовательно, система ненаблюдаема.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 495; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |