Замечания. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве

Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве

V. Метод координат в пространстве

1⁰.

Определение 1. 1) Аффинной системой координат или аффинным репером в пространстве называется совокупность некоторой точки и некоторого базиса. Точка называется началом координат, векторы – координатными векторами; 2) аффинная система координат называется правой, если связанный с ней базис – правый, и левой, если базис – левый; 3) оси, проходящие через начало координат и сонаправленные с векторами, соответственно осью абсцисс, ординат, аппликат или координатными осями. Три плоскости, каждая из которых проходит через две координатные оси, называются координатными плоскостями. Восемь частей, на которые координатные плоскости делят пространство, называются октантами.

Обозначения. Ось абсцисс - или; ось ординат - или;

ось аппликат - или.

Координатные плоскости: или; или; или.

Определение 2. Пусть = - аффинная система координат, а – произвольная точка пространства. Вектор называется радиус – вектором точки (относительно точки). Координаты вектора в базисе называются аффинными координатами точки в данной системе координат. При этом число называется абсциссой, число - ординатой, число - аппликатой точки.

Обозначение.. (1)

По аналогии с планиметрией справедливо утверждение: если в пространстве задана аффинная система координат, то этим установлена биекция между точками пространства и упорядоченными тройками действительных чисел.

Пусть аппликата точки равна нулю: = 0. Тогда из равенства (1) получаем:.

По определению линейной зависимости векторов вектора,, - линейно зависимы, а значит, компланарны. Тогда точка лежит в плоскости. Из предыдущего равенства следует, что в этой плоскости в системе координат точка имеет координаты.

Аналогично, если = 0, то, а если = 0, то.

Отсюда следует также, что для любой точки оси абсцисс = = 0, для любой точки оси ординат = = 0, для любой точки оси аппликат = = 0.

Начало координат имеет три нулевые координаты -.

Способ построения точки по её координатам:

1) От начала координат откладываем вектор;

2) От точки откладываем вектор;

3) От точки откладываем вектор.

По правилу многоугольника имеем:

, (2)

то есть – искомая точка

Ломаная называется координатной ломаной точки. Итак, для построения точки достаточно построить её координатную ломаную.

Определение 3. Пространство называется ориентированным, если в нем выбрана какого-либо вида аффинная система координат (правая или левая).

1) В дальнейшем пространство будем считать положительно ориентированным, если в нем выбрана правая аффинная система координат;

2) Как и в планиметрии, доказывается формула:, где – начало вектора, – конец этого вектора.

(правило треугольника).

Таким образом, каждая координата вектора в пространстве равна разности соответствующих координатам конца и начала вектора;

3) Координаты точки, делящей направленный отрезок, где,, в отношении (=) находятся по формулам:,,.

В частности, если - середина отрезка, то и,;

4) Как и для плоскости, доказываются формулы перехода от системы координат к системе координат:

(3)

где,,, - в «старой» системе координат,,.

Матрица при этом имеет ранг 3 и является невырожденной; Она называется матрицей перехода от базиса к базису.

Так как, векторы нового базиса некомпланарны, а, значит, и линейно независимы, то определитель. Поэтому система (3) разрешима относительно переменных. Это позволяет выразить координаты точки в «новой» системе через координаты той же точки в «старой» системе.

5) Формулы параллельного переноса системы координат в точку принимают вид:

- единичная матрица.

2⁰.

Определение 4. Аффинная система координат называется прямоугольной декартовой или просто декартовой, если её координатные векторы образуют ортонормированный базис.

Обозначение.,,.

;;.

.

(4)

Теорема. Расстояние от точки до точки в прямоугольной декартовой системе координат выражается формулой:

(5)

Так как, то получаем =.

Замечание. В дальнейшем мы будем пользоваться только прямоугольными декартовыми системами координат

Если рассматривается преобразование прямоугольных систем координат и s New Roman"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/></w:rPr><m:t>'</m:t></m:r></m:sup></m:sSup></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">, то можно пользоваться формулами (5). Однако, на элементы матрицы перехода от базиса к базису (накладываются определённые ограничения:

а) Сумма квадратов элементов каждой её строки или столбца равна единице;

б) Сумма произведений соответствующих элементов любых её двух различных строк или столбцов равна нулю.

Это происходит, потому что элементы столбцов матрицы являются соответственно координатами единичных и взаимно ортогональных векторов в базисе

Матрица в этом случае называется ортогональной. В частности, матрица параллельного переноса является единичной и ортогональной.

Примеры. Следующие матрицы являются ортогональными:

Квадратная матрица порядка, для которой (невырожденной), называется ортогональной, если

Ранг невырожденной матрицы порядка равен

6) Можно доказать, что если системы «старая» и «новая» ориентированы одинаково, то

Пусть ∆ - определитель ортогональной матрицы, тогда по правилу умножения матриц и используя определение ортогональных матриц, получаем:

Применяя к этому равенству теорему об определении произведения матриц, получаем ∆² = 1, то есть ∆ = ±1.

Как уже отмечалось ранее, скалярным произведением векторов и в системе называется число:

(6)

Справедливы формулы:

. (7)

. (8)

. (9)

(10)

. (11)

(12)

Дата добавления: 2014-01-07