КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Расстояние от точки до плоскостиПараметрические уравнения плоскости Уравнение плоскости в отрезках на осях Пусть плоскость не проходит через начало координат и пересекает все оси координат соответственно в точках A(), B(0;; 0), C(0;0;). Тогда предыдущее уравнение можно записать в виде: =0 (2) Уравнение плоскости в отрезках на осях координат: x/a0 + y/b0 + z/c0 = 1 Пример1. -2y+3z-6=0 привести общее уравнение плоскости к виду в отрезках на осях и изобразить эту плоскость. x-2y+3z=6,, .
Плоскость может быть задана некоторой точкой (;) и двумя неколлинеарными векторами (;) и (;), ей параллельными. При этом точка и концы векторов и не лежат на одной прямой, так что плоскость оказывается заданной тремя своими точками общего положения. Пусть М(х;у;z)- произвольная точка плоскости. В силу коллинеарности векторов,, имеет место разложения: = +, (3) где
Так как О = O +, то векторное уравнение плоскости: О = O + +. (4) Прейдем к координатам в уравнении (4): (х;у;z);;); (;); (;). Окончательно получаем параметрические уравнения плоскости: (5) где переменные и - параметры,, R; Векторы и - направляющие векторы плоскости. Придавая в равенствах (5) переменным и соответствующие значения, будем находить координаты точек плоскости. Теорема 1. Расстояние δ от точки М0(x0;y0;z0) до плоскости α с уравнением ax+by+cz+d=0 (1) выражается формулой: δ =. (2)
Доказательство. Пусть М1(x1;y1;z1) – основание перпендикуляра, проведенного из точки М0 к плоскости α. Тогда вектор n = (a;b;c), перпендикулярный плоскости α, коллинеарен вектору М1М0: n ↑↑ М1М0 или n ↑↓ М1М0.
По теореме о скалярном произведении векторов имеем: М1М0*n= │М1М0│ │n│ cos <(М1М0,) = │ М1М0 │ │n │ (±1). Учитывая, что: М1М0 (x0 – x1; y0 – y1; z0 – z1); │n │=, δ = │ М1М0 │= р (М0, α), получаем: (x0 – x1) a + (y0 – y1) b + (z0 – z1) c = ± ρ (М0, α) (3) Так как М1 α, то. . Из равенства (3) окончательно получим: р (М0, α) = δ =. Теорема доказана. Теорема 2.Координаты точек одного из открытых полупростых неравенств, на которые плоскость у равнением (1) делит пространство, удовлетворяющее неравенству ax + by + cz + d > 0, а координаты точек другого открытого полупространства удовлетворяют неравенству противоположного смысла: . Следствие. Если точки и лежат по одну сторону от плоскости с уравнением (1), то многочлен при подстановке в него координат этих точек принимает значения одного знака, а если по разные стороны – значения разных знаков. Доказательства аналогичны доказательствам соответствующих утверждений для прямой в планиметрии. Пример 1. Исследовать взаимное расположение точки и плоскости:. Решение. ; ; . Точка находится на расстоянии от плоскости по другую сторону от неё по отношению к началу координат. Пример 2. Тетраэдр ОАВС, ограниченный координатными плоскостями и плоскостью: задается системой неравенств (нестрогих):
а его внутренняя область – соответствующей системой строгих неравенств. ,,.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 261; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |