Методические указания. Контрольная работа и методические указания к ее выполнению

Контрольная работа и методические указания к ее выполнению

ЗАДАЧА 6

К электрической цепи (рис. 6) приложено периодическое несинусоидальное напряжение u частотой f =50 Гц. Известны параметры цепи R, L, C, максимальное значение напряжения U_m (табл. 6.1), форма и ряд Фурье этого мгновенного напряжения u (табл. 6.2). Требуется определить мгновенное значение тока i на входе цепи и построить графически его спектры амплитуд и фаз.

Перед решением задачи необходимо изучить материал курса, относящийся к расчету цепей несинусоидального тока

Таблица 6.1

Последняя, предпоследняя или третья от конца цифра шифра студента
Схема на рис. 4.1	а	б	в	г	д	б	в	г	а	д
Буква рис. 4 выбирается по последней цифре шифра
Форма напряжения u (табл. 6.2)
Форма напряжения u выбирается из табл. 6.2 по предпоследней цифре шифра
R, Ом
С, мкФ
L, мГн Um, В
Параметры R, L, C и значение Um выбираются по третьей от конца цифре шифра

Рис. 6

Известно, что всякая периодическая функция, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена гармоническим рядом Фурье:

или ,

где A ₀ – постоянная составляющая, k – номер гармоники, A_km – амплитуда k –й гармоники, y _k – начальная фаза k -й гармоники, В_km и С_km – амплитуды синусной и косинусной составляющих, w =2p/T – угловая частота основной гармоники.

Следовательно, периодическое несинусоидальное колебание может в общем случае рассматриваться как результат сложения постоянной составляющей

A ₀ и бесконечного числа гармонических колебаний с частотами w, 2w, 3w,…, амплитудами A ₁, A ₂, A ₃,… и начальными фазами y₁, y₂, y₃,…

Закон распределения амплитуд (начальных фаз) по частоте называют спектром амплитуд (фаз). Спектры амплитуд и фаз можно изобразить графически в виде отдельных (дискретных) линий, соответствующих отдельным амплитудам гармоник и их начальным фазам. Так, например, спектры амплитуд и фаз периодической последовательности импульсов (U_m =314 B) пилообразной формы (табл. 6.2, поз.1) представлены на графике (рис. 6.1). При этом изображены только три члена ряда Фурье.

Таблица 6.2

№ п/п	График	Формула разложения в ряд Фурье
1.	Um   0 2p 4p w t
2.	Um   0 2p 4p w t
3.	Um   0 p 2p w t
4.	Um   w t 0 p 2p

Расчет электрических цепей, находящихся под воздействием несинусоидального периодического напряжения, ведется на основании принципа наложения (суперпозиции), а именно мгновенное значение несинусоидального тока любой ветви в данный момент времени равно сумме мгновенных значений токов отдельных гармоник в данный момент времени. Аналогичное положение справедливо для несинусоидального периодического напряжения.

Рекомендуется следующий порядок расчета линейной цепи (определение мгновенного значения входного тока i):

1. Подготовить заданный ряд Фурье для расчета цепи комплексным методом. Для этого в ряду Фурье все косинусы и синусы с отрицательными амплитудами (если они присутствуют в ряду) преобразовать в синусы с положительными амплитудами, воспользовавшись известными соотношениями:

– sina = sin(a +180^°); ±cosa = sin(a ± 90^°). (6.1)

2. Рассчитать постоянный ток в цепи, возникающий от воздействия постоянной составляющей входного напряжения. При этом следует учесть, что индуктивное сопротивление при постоянном токе равно нулю X_L (0) = 0, а емкостное сопротивление – равно бесконечности X_C (0) = ¥.

3. Рассчитать мгновенные значения гармоник тока i_k от воздействия гармоник входного напряжения u_k частотой k w комплексным методом. При этом следует учесть, что индуктивное сопротивление имеет прямо пропорциональную зависимость, емкостное сопротивление – обратно пропорциональную зависимость:

X_LK = k w L = kX_{L 1} L; X_CK = (k w C)^-1 = X_{C 1} / k.

4. В соответствии с методом наложения определяем мгновенное значение искомого несинусоидального тока как сумму токов п. 2 и п.3:

i = I ₀ + i ₁ + i ₂ + i ₃ + …+ i_k.

Пример 6. К электрической цепи (рис. 6, е) приложено несинусоидальное периодическое напряжение (табл. 6.2, поз.1). Частота напряжения f = 50 Гц, максимальное значение напряжения U_m =314 В. Параметры цепи R ₁ =R ₂=10 Ом, L = 10 мГн, С = 200 мкФ.

Требуется определить мгновенное значение тока на входе цепи и построить его спектры амплитуд и фаз.

Решение. 1. Приводим заданное разложение в ряд Фурье (табл. 6.2, поз.1) с помощью соотношений (6.1) к виду

.

2. Рассчитываем постоянный ток I ₀, возникающий от воздействия постоянной составляющей напряжения U ₀ = U_m / 2. Учитывая, что X_L = 0, X_C = ¥, получим

I ₀ = А.

U B

U _m1

100 U ₀

U _m3 ww₁

0 1 2 3

0 1 2 3 ww₁

– 30

– 60

– 90

Рис. 6.1

I _m A

20 I _m1

I ₀

5 I _m3

0 1 2 3 ww₁

0 1 2 3 ww₁

–30

– 60

– 90

Рис. 6.2

3. Рассчитываем мгновенное значение тока первой гармоники i₁ от воздействия первой гармоники входного напряжения u ₁ = (4 U_m /p)sin(w t – 90^°).

а) Определим комплексный токпервой гармоники:

,

где .

б) Определим мгновенное значение тока первой гармоники:

А.

4. Рассчитываем мгновенное значение третьей гармоники тока i ₃ от воздействия третьей гармоники входного напряжения u ₃ = (4 U_m /9p)sin(3w t -90^°).

а) Определим комплексный ток третьей гармоники:

где =

=.

б) Определим мгновенное значение тока третьей гармоники:

А.

5. Определим мгновенное значение несинусоидального тока на входе цепи методом наложения:

i = I ₀ + i ₁ + i ₃ =7,8 +20sin(w t -85^°) + 3,2sin(3w t –63,1^°) А.

На рис. 6.2 построены спектры амплитуд и фаз входного тока.

ЗАДАЧА 7

В цепи постоянного тока (рис. 7), состоящей из резистивных и реактивного элементов, происходит коммутация. При этом ключ из положения 1 переходит в положение 2, а соединение в точке 0 остается неизменным. Параметры цепи заданы (табл. 7).

Требуется: 1. Определить мгновенные значения тока и напряжения на реактивном элементе, решив задачу классическим методом.

Таблица 7

Последняя, предпоследняя или третья от конца цифра шифра студента	1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Схема на рис. 7	а в г д е ж з б в г
L, мГн	2 - 4 - 8 - 10 4 - 8
С, мкФ	- 10 - 20 - 30 - - 40 -
Вариант схемы и значения L, C выбираются по последней цифре шифра
U, В	6 8 10 12 14 16 18 20 24 36
Значение U выбирается по предпоследней цифре шифра
R 1 = R 2, Ом	20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
Значения R 1, R 2 выбирается по третьей от конца цифре шифра

Дата добавления: 2014-01-07