Одноканальная система с отказами

Рассмотрим простейший случай, когда система массового обслуживания имеет в своем распоряжении всего лишь один канал (n = 1) и работает с отказами. Пусть это будет пост осмотра и ремонта машины, имеющий всего лишь один подъемник. Граф состояний указанной системы показан на рис. 1.

Рис. 1. Граф состояний системы массового обслуживания с отказами

На рис. 1 обозначено: Х_о — состояние системы, когда канал не занят; Х₁ — состояние системы, когда канал занят. Вероятности перехода системы из состояния в состояние характеризуются матрицей перехода

.

Естественно, что в начальный момент вектор вероятностей состояний системы имеет вид

=.

Многократными систематическими наблюдениями установлено, что число требований (число заявок), поступающих на пост ремонта автомобилей, распределено по закону Пуассона

,

где — вероятность того, что за время на пост поступит ровно «К» заявок (К = 0, 1, 2, 3, 4...);

— плотность или интенсивность заявок, т.е. среднее число заявок в единицу времени;

— отрезок времени, за который рассматривается отмеченная выше вероятность поступления заявок.

Вероятность того, что за время не поступает ни одной заявки (К = 0), равно

.

Многократными статистическими наблюдениями установлено также, что время обслуживания одной заявки (одного автомобиля) распределено по показательному закону

, . (1)

Вероятность того, что за время заявка будет обслужена, равна

. (2)

При этом вероятность того, что за время заявка не будет обслужена, равна

. (3)

Сравнивая выражения (1) и (3), можно установить, что время между двумя требованиями на обслуживание распределено по показательному закону. Указанное обстоятельство, позволяет моделировать случайные моменты времени поступления заявок на обслуживание и моделировать время обслуживания.

Выражения (1) и (2) могут быть преобразованы на основе математического анализа используя разложение функция в ряд Маклорена:

.

Разлагая выражение (1) и (2) в ряд Маклорена и отбрасывая члены второго порядка, получаем

;

.

Подставив полученные значения вероятностей в формулу полной вероятности, получаем

или

.

Раскрывая скобки и группируя переменные, получаем

(4)

Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования..

Аналогично для

. (5)

Выражения (4) и (5) называются разностными уравнениями. Переходя к пределу при , получаем систему дифференциальных уравнений, называемых уравнениями

Эрланга.

и (6)

Подобный переход системы из состояния в состояние называется процессом гибели и размножения. Указанное название было позаимствовано из биологии, где рассматривается процесс гибели и размножения популяций различных видов живых организмов.

В теории массового обслуживания под рождением подразумевают появление требования на обслуживание, а под гибелью — окончание обслуживания. Отмеченная система дифференциальных уравнений впервые была получена Эрлангом, поэтому ее называют системой дифференциальных уравнений Эрланга. Она является частным случаем системы дифференциальных уравнений Колмогорова.

Для установившегося режима производные равны нулю, поэтому система дифференциальных уравнении (6) и (7) преобразуется в систему алгебраических уравнений, в частности для одноканальной системы массового обслуживания с отказами, получаем

, откуда .

Рассматривая выражение (8), формулируем следующее важное мнемоническое правило: «Что вытекает, то и втекает. Для каждого состояния сумма членов, соответствующая входящим стрелкам, равна сумме членов, соответствующих выходящим. Каждый член равен интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка».

Применительно к рассматриваемой одноканальной системе массового обслуживания с отказами, это значит, что ее перевод слева направо осуществляется с плотностью , а обратный перевод справа налево осуществляется с плотностью .

Мнемоническое правило остается справедливым и для многоканальной системы с отказами и с ожиданием в очереди.

Разрешая равенство (8) относительно Р_о и учитывая, что Р_о+ Р₁ = 1 получаем

, откуда ,

при этом

где — называется приведенной плотностью или загрузкой системы.

Рассмотрим изложенное на примере.

Пример 4. Исследуется работа станции технического обслуживания машин с отказами. Станция имеет в своем распоряжении один подъемник, т.е. один канаал (n = = 1). На станцию поступает простейший пуассоновский поток заявок с плотностью = 5 машин в час. Время обслуживания распределено по показательному закону и характеризуется средней продолжительностью часа на машину. Требуется определить числовые характеристики функционирования станции за 10 —часовой рабочий день.

Решение.

1. Находим плотность или интенсивность обслуживания

машины в час.

2. Находим вероятность того, что машина будет принята для немедленного обслуживания. Указанная вероятность называется относительной пропускной способностью системы массового обслуживания

Это значит, что 37,5% прибывающих автомобилей будет поставлено на немедленное обслуживание.

3. Находим абсолютную пропускную способность станции (один из важных критериев функционирования станции).

За один час

машин.

За десять часов

машин.

4.Определяем вероятность отказа

.

Это значит, что 62,5% прибывающих машин получат отказ.

5. Находим номинальную, максимально-возможную, пропускную способность за 10-часовой рабочий день

машин.

Таким образом, абсолютная пропускная способность станции примерно в 1,5 раза меньше номинальной максимально возможной. Указанное расхождение объясняется случайным характером потока заявок и случайным временем обслуживания заявок.

Дата добавления: 2014-01-07