Производная показательно - степенной функции

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание, и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0. Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu;

;

;

.

Пример 1.6. Найти производную функции .

По полученной выше формуле получаем: Производные этих функций: Окончательно:

Производная обратных функций

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке. Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х: , т.к. g¢(y) ¹ 0. ; , т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Пример 1.7. Найти формулу для производной функции arctgx.

Функция arctgx является функцией, обратной функции tgx, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

Известно, что По приведенной выше формуле получаем: Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Таким образом, получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

Для самостоятельного решения:

Дата добавления: 2014-01-07