Наклонные асимптоты

Вертикальные асимптоты

Из определения асимптоты следует, что еслиили или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

.

Т.к. , то , следовательно,

.

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Пример 5.3. Найти асимптоты и построить график функции .

Решение. 1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

.

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

Пример 5.4. Найти асимптоты и построить график функции .

Решение. Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой. Найдем наклонные асимптоты: .

.

y = 0 – горизонтальная асимптота.

Пример 5.5. Найти асимптоты и построить график функции .

Решение. Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции. Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Точки разрыва (если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба (если они имеются).

8) Асимптоты (если они имеются).

9) Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример 5.6. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой. Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции:

.

Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < -, y¢¢ < 0, кривая выпуклая;

-< x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая;

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая;

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая;

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая;

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая.

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < -, y¢ > 0, функция возрастает;

-< x < -1, y¢ < 0, функция убывает;

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает;

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает;

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает;

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает.

Видно, что точка х = -является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3/2 и 3/2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

Дата добавления: 2014-01-07