Геометрическая интерпретация корреляции

Если случайная величина ξ имеет математическое ожидание, то ее можно центрировать. Случайная величина ξ₀= ξ – m_ξ называется центрированной, она имеет нулевое математическое ожидание.

Рассмотрим множество всех центрированных случайных величин ξ₀(), определенных на одном и том же пространстве элементарных событий и имеющих конечные дисперсии D_ξ­<∞. Можно убедиться, что это множество случайных величин линейное пространство с операциями сложения и умножения на число, понимаемыми в обычном смысле. Поэтому каждый элемент этого пространства будем называть вектором.

Скалярным произведением двух векторов ξ и η назовем число

(ξ,η)=M[ξη]=K_ξη. (1)

(Убедиться самостоятельно, что (1) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения, см. §17 ч.1, гл.1).

Таким образом, скалярное произведение в данном евклидовом пространстве совпадает с корреляционным моментом K_ξη. Поскольку квадрат нормы (длины) вектора ξ в евклидовом пространстве определяется как то он совпадает с дисперсией, Таким образом, норма (длина) вектора ξ есть среднее квадратичное отклонение случайной величины ξ. Коэффициент корреляции случайных величин ξ и η дается формулой:

(2)

Формула (2) определяет косинус угла между вектором ξ и η, т.е. r_ξη=cos(ξ,^ η). Отсюда ясно, что некоррелированные величины ξ и η ортогональны. Если r_ξη= ±1, то векторы коллинеарны, линейно зависимые, т.е. η=aξ, где a – некоторый коэффициент.

Запишем неравенство Коши-Буняковского:

(3)

Если (3) переписать иначе: или, то получим доказательство утверждения, что модуль коэффициента корреляции не превышает единицы.

Дата добавления: 2014-01-07