Комплексные числа и действия над ними

z= x+ iy= |x=Re z – действит. часть, y=Jm z – мнимая часть| = Re z + Jm z. z^-= x- iy – сопряжённое число для z= x+ iy. Задание компл. Числа z= x+ iy равносильно заданию точки или свободного вектора (х,у). Поэтому оно изображается на плоскости R² как точка или вектор (х,у). Компл. Числа z₁= x₁+ iy₁ и z₂= x₂+ iy₂ сладываются и вычитаются как векторы (х₁,у₁) и (х₂,у₂). Но в умножении есть отличие. Если для векторов определено скалярное умножение, результатом которого является действ. число: (х₁,у₁)× (х₂,у₂)= х₁х₂+ у₁у₂, то результатом умножения комплексных чисел является комплексное число: (x₁+ iy₁)×(x₂+ iy₂)= (х₁х₂- у₁у₂) + i(y₁х₂+ x₁у₂). Для векторов деление вообще не определено, а для комплексных чисел определено: (x₁+ iy₁)/ (x₂+ iy₂)= ((x₁+ iy₁)× (x₂- iy₁))/ ((x₂+ iy₂)× (x₂- iy₂))= (х₁х₂+ у₁у₂)/ (x₂²+y₂²)+ i(y₁х₂- x₁у₂)/ (x₂²+ y₂²). Этим отличается С – множество комплексных чисел z= x+ iy (комплексная плоскость) от R² – множества векторов (х,у). Числа z= x+ i0= xÎR изображаются как точки действительной оси Ох или как векторы (х,0)|| Ох, числа z= 0+ iy= iy (чисто мнимые) изображаются как точки мнимой оси Оу или как векторы (0,у)|| Оу. r= d(z,0)= Ö(x²+y²)= |z| - модуль числа z. В частности, если z=xÎR, то |z|= Ö(x²+0²)= Ö(x²)= |x| - абсолютная величина j= (Ох,^z)= Arg z – аргумент числа z. Arg z определяется многозначно с точностью до 2kp. Его значение, взятое в промежутке ]-p,p[, называется главным значением аргумента: arg z. -p<arg z£p. Поскольку tg(arg z)= y/x, то arg z можно выразить через arctg(y/x). Однако arg zÎ]-p,p[, тогда как arctg(y/x) Î]-p/2,p/2[. Плэтому arg z= arctg(y/x), только для точек полуплоскости. Для точек левой полуплоскости arg z отличается от arctg(y/x) на p, и для получения arg z следует к arctg(y/x) добавить +p или -p с тем расчётом, чтобы получилось число в промежутке ]-p,p[.

[x= rcosj, y=rsinj]Þ z= x+ iy= r(cosj+ isinj) – тригонометрическая форма комплексного числа. По формуле Эйлера cosj+ isinj= e^ij, поэтому z= re^ij= |z|e^iArgz - показательная форма комп. числа. В показательной (и тригономнтрической) форме удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение натурального корня. z₁×z₂= r₁e^ij× r₂e^ij= r₁r₂e^ij1e^ij2= | раньше показано, что e^z1+z2= e^z1×e^z2|= r₁r₂e^ij1+ij2= r₁r₂e^i(j1+j2)Þ |z₁z₂|= |z₁|×|z₂|, Arg(z₁z₂)= Arg(z₁)+ Arg(z₂). При умножении модули умножается, а аргументы складываются (равенство с участием Arg понимается с точностью до 2кp, т.е. левая и правая части равенства могут отличаться на 2кp). Геометрически: при умножении z₁= r₁e^ij1 на z₂= r₂e^ij2 вектор r₁e^ij1 растягивается в r₂ раз и поворачивается на угол j₂. z₁/z₂= r₁e^ij1/r₂e^ij2= (r₁/r₂)× e^ij1× (1/e^ij2)= | раньше показано 1/e^z= e^-z|= (r₁/r₂)× e^ij1×e^-ij2= (r₁/r₂)× e^i(j1-j2)Þ |z₁/z₂|= |z₁|/|z₂|, Arg(z₁/z₂)= Arg z₁- Arg z₂. При делении модули делятся аргументы вычетаются. Вектор r₁e^ij1 стягивается в r₂ раз и поворачивается на угол -j₂. zⁿ= (re^ij)ⁿ= rⁿ(e^ij)ⁿ= rⁿ× e^ij× e^ij×…× e^ij= rⁿ×e^ij+ij+…+ij= rⁿe^injÞ |zⁿ|= |z|ⁿ, Arg zⁿ= n×Arg z.

ⁿÖ(z)= w=?. Пусть w= re^ij. Должно быть wⁿ= z. [wⁿ= z]Þ [(re^iq)ⁿ= re^ij]Þ [rⁿe^inq)= re^ij]Þ [rⁿ= r& nq= j+2kp]Þ [r= ⁿ₊Ö(r)& q= j/n+ 2kp/n]Þ [w= ⁿÖ(z)= ⁿ₊Ö(r)×e^i(j/n+2kp/n)]. ⁿÖ(re^ij)= ⁿ₊Ö(r)×e^i(j/n+2kp/n), |ⁿÖ(z)|= ⁿ₊Ö(|z|), Arg ⁿÖ(z)= Argz/n+ 2kp/n. При любом кÎZ, отличном от 0,1,2,…,n-1, получается значение корня, совпадающее с одним из значений, вычисленных при k=0,1,…,n-1. Действительно, пусть k¹0,1,..,n-1. Поделив k на n, получим k=nq+ r, где qÎZ – частное, rÎZ – остаток, 0£r£n-1. Отсюда 2кp/n= 2pq+ 2pr/n, где r- одно из чисел 0,1,…,n-1 и Arg ⁿÖ(z)= Argz/n+ 2kp/n= Argz/n+ 2pr/n+ 2pq= |равенство с точностью до 2pq|= Argz/n +2pr/n, r= 0,1,…,n-1. Т.о. ⁿÖ(z) имеет n значений. Их модули одинаковы: | ⁿÖ(z)|= ⁿ₊Ö(r), поэтому они лнежат на окружности радиуса ⁿ₊Ö(|z|) с ценром 0. Аргументы корней: j/n, j/n+ 2p/n, j/n+ (2p/n)×2,…, j/n+ (2p/n)(n-1). Поэтому все значения корня ⁿÖ(z₀), ⁿÖ(z₁), ⁿÖ(z₂),…, ⁿÖ(z_n-1) лежат в вершинах правильного n-угольника.

Дата добавления: 2014-01-07