КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод динамічного програмування Беллмана
У техніці існує клас об’єктів і процесів, керування якими здійснюється на підставі обмеженої кількості рішень, що приймають послідовно у деякі фіксовані моменти часу. Для розв’язування задач оптимізації таких об’єктів американський вчений Р.Беллман запропонував метод, що отримав назву динамічного програмування. Цей термін означає прийняття рішень у часі. За допомогою динамічного програмування можна розв’язувати задачі, що є дискретними за своєю природою. Це має велике значення для найрізноманітніших галузей техніки та економіки, пов’язаних з дискретними процесами виробництва. У основі методу лежить принцип оптимальності. Відповідно до цього принципу оптимальне керування визначається кінцевою метою керування і станом системи у даний момент часу незалежно від того, яким чином система дійшла до цього стану, тобто від “передісторії” системи. Це означає, що для будь-якої оптимальної траєкторії кожна ділянка, яка зв’язує будь-яку проміжну точку цієї траєкторії з кінцевою, також є оптимальною траєкторією. Іншими словами, друга ділянка оптимальної траєкторії є оптимальною траєкторією. Пояснимо метод динамічного програмування на простому прикладі керування об’єктом, рух якого описується рівнянням (10.21): причому на керуючий вплив накладені обмеження u (t) Gu, а також задані початкові умови: y(t0) = y0. Необхідно мінімізувати функціонал: (10.35) де - деякий функціонал, що залежить від значення вихідної координати у кінці інтервалу часу Т, тобто значення критерію при останньому кроці на ділянці dt (без урахування попередніх). Для розв’язування задачі Беллман застосував прийом, що полягає у посуванні від кінця процесу (t =T) до його початку (t=0).
У результаті було отримане рівняння динамічного програмування у безперервній формі, яке у найпростішому випадку для системи першого порядку з однією керуючою дією має вигляд: (10.36) де y0, u0 – початкові значення вихідної координати і керування, S – мінімальне значення функціоналу (10.35), яке залежить від початкових умов. Для отримання мінімуму рівняння (10.36) необхідно продиференціювати за керуванням u. Тоді умову мінімуму (10.36) можна замінити системою: (10.37) де y, u – поточні значення вихідної координати і керування. З другого рівняння системи (10.37) визначають dS(y)/dy, а потім з першого рівняння знаходять шукану залежність u=f(y). У випадку, коли система має n вихідних координат і m керувань, рівняння (10.37) матимуть вигляд: (10.38) Наведена система рівнянь є найпоширенішою формою запису рівнянь Беллмана. При цьому функція має бути безперервною й диференціюваною за yі, а dS/dyі відіграє ту саму роль, що і множник l у задачі на умовний екстремум. Функція j аналогічна рівнянню зв’язку (10.21). Приклад 10.3 Розв’язати задачу (приклад 10.2) методом динамічного програмування. Маємо рівняння об’єкта: Функціонал: Тоді система (10.37) має вигляд: (10.39) Звідси знаходимо: dS/dy = - 2u/b; або Отримали квадратне рівняння відносно u, корені якого є шуканими керуваннями: Другий корінь відкидаємо як такий, що не відповідає умовам стійкості, й остаточно запишемо: що співпадає з розв’язком (10.33), (10.34). З рівнянь (10.39) можна виключити u, і тоді визначити функцію S. Приклад 10.4 Розв’язати задачу з обмеженням: де x=f(u) – нелінійна функція з обмеженням (рис. 10.6). Функціонал, що мінімізується, має вигляд: У даному випадку: Тоді рівняння Беллмана матимуть вигляд: (10.40) З другого рівняння отримуємо: Тоді: ; Отримали рівняння, аналогічне попередньому прикладу, розв’язок якого має вигляд: Розв’язок рівняння дає константу f(u)=const. З урахуванням обмежень маємо |f(u)| = C.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 606; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |