Числовые вероятностные характеристики случайных погрешностей

Для описания частных свойств случайной величины используют числовые характеристики распределений. В качестве числовых характеристик выступают моменты случайных величин: начальные и центральные.

Все они представляют собой некоторые средние значения; причем, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределения – то центральными.

Начальный момент k -го порядка определяется формулами:

;

,

где в р_i – вероятность появления дискретной величины.

Здесь и ниже первая формула относится к непрерывным, а вторая – к дискретным случайным величинам.

Первая формула относится к непрерывным, а вторая – к дискретным случайным величинам.

Из начальных моментов наибольший интерес представляет математическое ожидание случайной величины (k = 1):

,

.

Центральные моменты k -го порядка рассчитываются по формулам

,

.

Из центральных моментов особенно важную роль играет второй момент (k = 2), дисперсия случайной величины D:

,

.

Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных ее значений. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины и выражает как бы мощность рассеяния относительно постоянной составляющей. Однако чаще пользуются положительным корнем квадратным из дисперсии – средним квадратическим отклонением (СКО), которое имеет размерность самой случайной величины.

Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ случайной погрешности результата измерения могут использоваться: предельная погрешность, интервальная оценка, числовые характеристики закона распределения.

Предельная погрешность Δm – погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться. Теоретически, такая оценка погрешности правомерна только для распределений, границы которых четко выражены и существует такое значение ± Δm, которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения (например, равномерное).

Недостатком такой оценки является то, что она не содержит информации о характере закона распределения случайных погрешностей. При арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превышать действительные погрешности.

Более универсальными и информативными являются квантильные оценки. Площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения погрешностей, отражает вероятность всех возможных значений погрешности и по условиям нормирования равна единице. Эту площадь можно разделить вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называются квантилями.

Дата добавления: 2014-01-07