Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Звуковое сопровождение лекции. Матрица называется обратной матрице , если




Обратная матрица

Определение

Матрица называется обратной матрице , если .

 

Отсюда следует, что и – квадратные.

 

Определение

Если , матрица называется невырожденной, в противном случае называется вырожденной матрицей.

 

Теорема (существования и единственности обратной матрицы)

Для всякой невырожденной матрицы существует и единственна обратная матрица

,

где – присоединенная матрица (составлена из алгебраических дополнений элементов матрицы : каждый элемент матрицы является алгебраическим дополнением соответствующего элемента матрицы).

 

Доказательство

1) Существование

По условию, – невырожденная матрица, следовательно, числовой множитель в формуле определен. Составление матрицы и ее транспонирование возможно для любой квадратной матрицы. Таким образом, матрица существует для любой невырожденной матрицы.

Является ли построенная матрица обратной к ?

Рассмотрим произведение . При умножении -й строки первой матрицы на -й столбец второй получим (воспользовались свойствами 8°, 9° определителей, см. Лекцию 1). Окончательно получим,

.

Аналогично вычисляется произведение .

Таким образом,

(по определению обратной матрицы).

2) Единственность

Допустим, что кроме существует , построенная отличным от указанного выше способом (ясно, что при использовании формулы получается одна единственная матрица). Составим выражение . Преобразуем его, используя свойства операций над матрицами и определение обратной матрицы .

Таким образом, .

Умножим это равенство слева на обратную матрицу, например, на :

, преобразуем

,

,

, что и требовалось доказать.

 

Пример

, –?

Решение

1. –?

существует единственная .

2. –?

.

3. –?

.

4. –?

.

 

Пример 10(для самопроверки)

Найдите матрицу, обратную к матрице .

Ответ

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 247; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.