Основные закономерности пластической деформации. Закон изменения объема

Пусть малый параллелепипед с размерами x, y и z (рис. 12) деформируется в направлении z

y

y+dy

z

x z+dz

x x+dx

y

Рис. 12. Деформация параллелепипеда

главных осей (ребер параллелепипеда) и после деформации имеет размеры (x+dx), (y+dy) и (z+dz).

Деформацию ребер запишем в виде:

Объем параллелепипеда до и после деформации соответственно равен

V₀ = xyz и V₁ = V₀ + dV = x (1+ e₁ ) y (1+ e₂ ) z (1 + e₃ ).

Раскрывая скобки и отбрасывая произведения малых величин, получим:

V₀ + dV = V₀ (1 + e₁ + e₂ + e₃).

Отсюда относительное изменение объема при деформации

При пластической деформации объем тела не меняется, поэтому условие постоянства объема запишется в виде:

.

Для упругой деформации это выражение не равно 0, и, обозначив его через е, при известной связи между напряжениями и деформациями в виде

получим

или .

Изменение объема при упругой деформации определяется гидростатическим давлением

Условие постоянства объема при пластической деформации можно записать иначе:

После логарифмирования получим:

,

Сумма логарифмических показателей деформации равна нулю.

Логарифмические показатели деформации, как известно, являются более правильными характеристиками деформации, чем относительные показатели e₁,e₂ и e₃, так как обладают свойством аддитивности (позволяют их поэтапно складывать), следовательно, справедливы не только для элементарных параллелепипедов, но и для больших объемов.

z

F_h

dz/2 Рис. 13.

Смещенные площади

z x по высоте F_h и ширине F_b.

F_b

x/2

dx/2

Запишем условие постоянства объема в виде:

Объем металла называется смещенным объемом в направлении оси x.

Проекция его в плоскости zx называется высотной смещенной площадью (половина ее заштрихована на рис. 13). Видно, что элементарный смещенный объем металла по высоте равен yxdz.

Соответственно смещенные объемы в направлении осей y и z равны:

и .

Условие постоянства объема можно записать в виде:

V_x + V_y + V_z = 0.

Сумма смещенных объемов с учетом их знаков (например, при сжатии – минус, при растяжении - плюс) по всем трем осям равна нулю. При осадке объем металла, смещаемый по высоте, распределяется по двум другим направлениям:

V_x + V_y = V_z.

Отношение

характеризует долю высотного смещенного объема, которая при деформации устремляется в поперечном направлении и образует поперечный смещенный объем.

Соответственно, остальной высотный смещенный металл течет в продольном направлении, поэтому показателем продольной деформации может служить доля высотного смещенного объема, которая течет в направлении длины:

.

Смещенные объемы аналогичны логарифмическим показателям деформации, но в сложных случаях деформации, например, при прокатке в калибрах, определяются легче. В практических расчетах оперируют обычно не смещенными объемами, а смещенными площадями. Рассмотрим деформацию металла при осадке в калиброванном бойке, как показано на рис. 14.

Рис. 14. Схема для определения

смещенных площадей при

деформация металла в калибре

Штрихами показано поперечное сечение образца до, а сплошными линиями - после осадки. Как видно, здесь трудно определить логарифмические показатели деформации, так как высота h не постоянна по ширине, но смещенные площади по высоте и по ширине можно легко измерить. При умножении их на третий размер параллелепипеда, получим смещенные объемы, а показатель А вычисляется непосредственно путем деления заштрихованных площадей.

Рассмотрим элементарную работу dР, совершаемую бойком, который воздействует на наш параллелепипед, на расстоянии dz (рис 12). Это работа деформации в направлении оси z. Она равна силе, умноженной на перемещение, то есть

dР_z = Fdz = p_ср xydz = р_ср× xyz×= p_cp V_0×,

где р_ср – среднее давление металла на боек. Интегрируя приведенное выше выражение в пределах от z₀ до z₁, получим

Р_z = p_cp V₀ × ln.

Аналогично можно записать работу деформации металла в направлении осей x и y.

В первом приближении среднее давление p_cp можно приравнять некоторому усредненному по всему объему пределу текучести материала s_{s ср}. (Чем меньше трение на поверхности контакта металла с бойками, тем ближе значение р_ср к пределу текучести материала s_s.). Условие постоянства объема можно представить в виде:

Р_z = Р_x + Р_y .

Работа внешней силы, направленной по оси z, равна сумме работ по двум другим направлениям, то есть работе внутренних напряжений по перемещению металла в поперечном и продольном направлениях. На примере осадки мы получили фундаментальный энергетический закон пластической деформации, в соответствии с которым работа внешних сил, действующих на деформируемое тело, равна работе внутренних напряжений. Соотношение между смещенными объемами в продольном и поперечном направлениях будет соответствовать минимуму работы внутренних напряжений. Рассматривая только смещенные объемы, не прибегая непосредственно к энергетическим расчетам, можно выводить практически важные формулы.

Например, рассмотрим параллелепипед в проекции сверху (рис. 15).

y

II Рис. 15.

I I x Осадка параллелепипеда

II

Проведем из углов полученного прямоугольника линии под углом 45⁰ к граням. При отсутствии трения на контакте металлу, находящемуся в зонах I, энергетически выгодно течь в направлении меньшей стороны, а из зон II – в направлении большей стороны прямоугольника. Следовательно, поперечный и продольный смещенные объемы, а также показатели поперечной и продольной деформации будут пропорциональны площадям F_I и F_II зон I и II. Следствием такого распределения деформаций будет то, что при большой степени осадки параллелепипеда по высоте ширина его будет увеличиваться быстрее, чем длина. Форма параллелепипеда в плане в пределе стремится к кругу (штрихами показана его форма при значительной деформации). Это известный в теории ОМД закон наименьшего периметра, согласно которому тела любой формы поперечного сечения, но обязательно с выпуклым контуром сечения, при осадке с большим обжатием стремятся принять форму с наименьшим периметром – форму круга.

Соотношение между деформациями можно оценить из выражения (справедливого до конца только при отсутствии трения):

.

Это самая простая приближенная формула для вычисления логарифмического показателя уширения А. Она учитывает только геометрию очага деформации, но не учитывает трения на поверхности контакта. Если внести в нее поправку, учитывающую влияние сил трения на контакте, то получится формула, полностью пригодная для практического использования. Однако определить эту поправку очень непросто.

Лекция 6

Дата добавления: 2014-01-07