Определение и примеры линейных пространств

Линейные пространства

Определение. Непустое множество элементов называется линейным, или векторным, если оно удовлетворяет таким условиям:

I. Для любых двух элементов однозначно определён третий элемент , называемый их суммой и обозначаемый , причём

1. (коммутативность),

2. ассоциативность),

3. в существует такой элемент 0, что для всех (существование нуля),

4. для каждого существует такой элемент , что для всех (существование противоположного элемента).

II. Для любого числа и любого элемента определён элемент (произведение элемента на число ), причём

1.

2.

3.

4.

Пример 1. Прямая линия , то есть совокупность действительных чисел, с обычными арифметическими операциями сложения и умножения, представляет собой линейное пространство.

Пример 2. Совокупность всевозможных наборов действительных чисел где сложение и умножение на число определяются формулами

также является линейным пространством. Оно называется действительным n -мерным арифметическим пространством и обозначается символом .

Аналогично, комплексное n -мерное арифметическое пространство определяется как совокупность наборов n комплексных чисел (с умножением на любые комплексные числа).

Пример 3. Непрерывные (действительные или комплексные) функции на некотором отрезке с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа образуют линейное пространство , являющихся одним из важнейших для анализа.

Пример 4. Пространство , в котором элементами служат последовательности чисел (действительных или комплексных)

удовлетворяющие условию

, (1)

с операциями

является линейным пространством. Тот факт, что сумма двух последовательностей, удовлетворяющих условию (1), также удовлетворяет этому условию, вытекает из элементарного неравенства .

Пример 5. Сходящиеся последовательности с покоординатными операциями сложения и умножения на числа образуют линейное пространство. Обозначим его c.

Пример 6. Последовательности, сходящиеся к 0, с теми же операциями сложения и умножения, также образуют линейное пространство. Обозначим его .

Пример 7. Совокупность всех ограниченных числовых последовательностей, с теми же операциями сложения и умножения на числа, что и в примерах 4-6, тоже представляет собой линейное пространство.

Пример 8. Наконец, совокупность всевозможных числовых последовательностей, с теми же самыми операциями сложения и умножения на числа, что и в примерах 4-7, тоже является линейным пространством.

Дата добавления: 2014-01-07