Непрерывные среды как предельный случай однородно-слоистых сред. Рефрагированные волны

Общие свойства лучей в вертикально-неоднородных средах

Рассмотрим среды, в которых скорость v=v(z) упругих волн зависит только от глубины – z- вертикально-неоднородные среды. Скоростную функцию –v(z)- будем считать непрерывной и достаточное число раз дифференцируемой, то есть рассмотрим среды без границ раздела

Одномерную неоднородную среду можно получить как предельный случай однородно-слоистой среды. Например, пусть имеется среда, изображенная на рис. 2.1

Рис. 2.1.

Она состоит из однородных слоев, в каждом из которых скорость постоянна v=c_i = const.

(i=1, 2,,n)

Мощность i–го слоя обозначим буквой h_{i .} Сделаем следующий предельный переход. Пусть n→∞, h_i→0, Δv→0, Δv = (v_i - v_i-1).

Очевидно, при этом однородно-слоистая одномерная среда перейдет в вертикально-неоднородную непрерывную среду со скоростью v=v(z). Нарисуем луч (рис.2.1), выходящий из источника под углом i с вертикалью. Пусть скорости в слоях удовлетворяют неравенствам

v₁< v₂< … <v_n

На каждой границе раздела луч испытывает преломление и приобретает форму ломаной, вершины которой лежат на границах раздела. Рассмотрим луч, который на границе между слоями n и n-1 испытывает скользящее преломление. Угол преломления этого луча i_n =90 и он распространятся вдоль границы, образуя в слое n-1 головную волну. На вышележащих же границах этот луч испытывает обычное преломление (рис. 2.1).

другие лучи, выходящие из источника под другими лучами, испытывают скользящее преломление на других границах раздела. При рассмотренном выше предельном переходе ломаные лучи переходят в криволинейные лучи.

Каждый криволинейный луч в вертикально-неоднородной среде с увеличивающейся с глубиной скоростью представляет собой гладкую кривую, выпуклую вниз и симметричную относительно вертикальной прямой, проходящей через его вершину.

Получим основное соотношение, выполняющееся вдоль криволинейных лучей в вертиуально-неоднородной среде.

Свойства лучей и годографов

В слоистой среде для преломленного луча, испытывающего скользящее преломление на границе между слоями n и n- 1 имеем равенство (закон преломления, закон Снеллиуса)

отсюда получим

В пределе при переходе от слоистой среды к непрерывной, получим

где z_max – вертикальная координата вершины луча. В частности, оно выполняется в точке выхода луча на поверхность среды z= 0.

Обозначим

i(z)_z=0=i(0)=i₀ и v(z)_z=0=v_0,

получим

по закону кажущихся скоростей, известно

поэтому имеем

v*=v(z_max),

отсюда получаем следующее свойство луча в вертикально-неоднородной среде:

Кажущаяся скорость в точке выхода луча на поверхность среды равняется истинной скорости в точке максимального проникания луча в среду (в вершине луча). Вершина луча - точка поворота луча – turning point.

Это соотношение выполняется вдоль каждого луча. Его можно представить в виде

где p -параметр луча, имеющий смысл величины, обратной к кажущейся скорости (рис. 2.2)

Величина p – постоянна вдоль каждого луча и меняется от луча к лучу.

рис. 2.2

Дата добавления: 2014-01-07