КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция 1. Вещественные числа
П.1 Множества. Объединение множеств. Пересечение множеств Разность множеств. Симметрическая разность. Отрицание множеств. . ПРИМЕР 1. А – множество студентов, сдавших физику и математику на оценку 4 или 5. В – множество студентов с рыжими волосами. С – множество студентов, занимающихся спортом. Какие студенты входят в множество ? Ответ: это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом. Алгебра множеств (примеры). 1) . 2) 3) ПРИМЕР 2. Доказать, что . ДОК. .. П.2. Вещественные числа.(множество R) Аксиомы вещественных чисел. 1. Аксиомы сложения. В множестве вещественных чисел определена операция сложения, т.е.определено вещественное число , причем эта операция удовлетворяет условиям: 1.1 существует нуль, т.е.такой элемент , для которого . 1.2 существует «противоположный» элемент:. 1.3 «правило расстановки скобок»: . 1.4 коммутативность: . 2. Аксиомы умножения. Во множестве вещественных чисел определена операция умножения, т.е. определено вещественное число , причем эта операция удовлетворяет условиям: 2.1 существует единица, т.е. такой элемент , для которого . 2.2 для каждого существует «обратный» элемент , для которого . 2.3 «правило расстановки скобок»: . 2.4 коммутативность: 3. Аксиомы сложения и умножения. 3.1 правило раскрытия скобок: 4. Аксиомы порядка. Во множестве действительных чисел определено отношение порядка , т.е. для каждой пары справедливо одно из высказываний: или , при этом это отношение удовлетворяет условиям: 4.1 4.2 Если и , то . 4.3 Если и , то . 4.4 Если , то . 4.5 Если и , то 5. Аксиома полноты. 5.1 Пусть X,Y и Z подмножества R такие, что и , причем и справедливо высказывание . Тогда , для которого для любых
Множество, содержащее более двух элементов, с введенными операциями сложения и умножения, удовлетворяющими аксиомам 1-5,называется множеством вещественных чисел, а его элементы – вещественными (или действительными) числами. СЛЕДСТВИЯ из аксиом. Сл1. Единственность нуля. Док. Если нуля два, , то . Сл2. . Док. . Сл3. Док. , т.е.. Сл4. Док. , т.е. . П.3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и действия с ними. Обобщение понятия числа возможно на пути включения вещественных чисел в более обширное множество, в котором некоторые аксиомы вещественных чисел (4-5) не выполняются. В этом множестве должны быть введены операции (сложение, умножение, деление) так, что их сужение на множество вещественных чисел сохраняло смысл аналогичной операции в R. ОПР. Комплексным числом z называют пару вещественных чисел: . Число a –называют вещественной, а b - мнимой часть комплексного числа z. Если мнимая часть равна нулю, то комплексное число называют вещественным или действительным. Его отождествляют с вещественным числом . Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то число называют чисто мнимым. В качестве примера чисто мнимого числа рассмотрим число , называемое мнимой единицей. Два комплексных числа равны, если у них равны вещественные и мнимые части. Отношение порядка для комплексных чисел не определены: нельзя сказать, что одно комплексное число больше или меньше другого комплексного числа. Например, высказывание о том, что комплексное число положительно, имеет смысл только в том случае, если оно вещественное положительное число. ОПР. Операция сложения двух комплексных чисел и определена так: , т.е. складываются вещественные и мнимые части комплексного числа. ОПР. Операция умножения двух комплексных чисел и определена так: . ОПР. Операция деления двух комплексных чисел и определена так:
. СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ. 1. Если во всех операциях участвуют комплексные числа с нулевой мнимой частью, т.е. действительные числа, то их действия сводятся к аналогичным операциям в R. 2. Введенные операции сложения, умножения и деления удовлетворяют аксиомам 1-3. Действительно, роль нуля в аксиоме 1.1 играет 0=(0,0). Противоположным элементом для является число . Легко проверяется для сложения правило расстановки скобок и коммутативность сложения. Единицей в аксиоме 2.1 является число (1,0) – вещественная единица: . Комплексное число - обратный элемент к , поскольку . Проверим правило расстановки скобок в аксиоме 2.3 умножения: . Аналогично, . Если внимательно посмотреть на вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел, то легко заметить, что они равны друг другу и . УПРАЖНЕНИЕ. Проверьте выполнение аксиом 2.4 и 3.1. УПРАЖНЕНИЕ. Проверьте, что если - вещественное число, то ПРИМЕР 2. Проверим, что . РЕШЕНИЕ. . ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ интерпретация комплексного числа. Если на плоскости ХОУ рассмотрена декартовая система координат, то любому комплексному числу соответствует точка на плоскости с координатами и вектор с началом в точке (0,0) и концом в точке . Вещественным числам соответствуют точки на оси ОХ. Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение векторов на плоскости, умножению комплексного числа на вещественное число - умножение вектора на . ОПР. Модулем комплексного числа называют число . Модуль комплексного числа – это длина соответствующего ему вектора на плоскости ХОУ. ОПР. Аргументом комплексного числа , обозначение , называют угол, который образует соответствующий ему вектор с положительным направлением оси ОХ. Принято считать, . АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА комплексного числа. Комплексное число можно представить в виде Она называется алгебраической формой. Здесь a и b – вещественная и мнимые части комплексного числа, а i - мнимая единица. Эта форма удобна для выполнения операций над комплексными числами в виде преобразования алгебраических выражений с дополнительным условием: . ПРИМЕР 3. Вычислить . РЕШЕНИЕ. . ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА комплексного числа. Если , то и . Тогда комплексное число можно представить в форме:
которая называется тригонометрической формой комплексного числа .Проследим за умножением комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме: . Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. В частности, . КОРЕНЬ степени n из комплексного числа. ОПР. Комплексное число называется корнем степени n из комплексного числа , если . ТЕОРЕМА. Существует ровно n значений корня степени n из комплексного числа . Все они имеют одинаковый модуль, равный , и аргументы,вычисляемые по формуле: , ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ,, ПРИМЕР 4. Вычислить . РЕШЕНИЕ. . . , , . УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что для решения квадратного уравнения с произвольными комплексными коэффициентами, справедлива формула: , где корень вычисляется из комплексного числа. П 4. Отображения множеств. Пусть X и Y два множества, принадлежащие R. Функцией , определенной на множестве X и принимающей значения в множестве Y, называют закон (правило), по которому каждому сопоставляется единственное число . Таким образом, с функцией всегда связаны три объекта : X – область определения, f – правило отображения, Y – область значения. Две функции, у которых хотя бы один элемент тройки различен, считаются разными. Например, функции и различные, поскольку у них разные области определения. Если , то функция называется сужением функции на множество A. Функция называется сюръекцией, если , и инъекцией, если каждое значение принимается функцией только в одной точке , т.е. из равенства . Если функция одновременно сюрьективна и инъективна, то она называется биекцией. Множество называется прообразом множествапри отображении. Если функция биекция, то на множестве Y определена функция , для которой и . Она называется обратной функцией к f. ПРИМЕР 3 . Функция - обратная. ПРИМЕР 4.Функция , по правилу , сюръективна. ПРИМЕР 5. Функция , по правилу , биективна и функция - обратная. ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ. 1) Множества, операции над множествами, примеры. 2) Аксиомы вещественных чисел и их следствия. 3) Комплексные числа, действия с ними в алгебраической и тригонометрической формах.
4) Корень степени n из комплексного числа. 5) Отображения множеств. Сюръективные, инъективные и биективные функции. Обратная функция. Примеры.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 828; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |