Метод понижения порядка

Пример.

Дано ЛОДУ второго порядка и известно одно его частное решение. Найти общее решение уравнения.

- известное частное решение.

Для нахождения второго частного решения используем формулу Лиувиля - Остроградского:

Общее решение имеет вид:

Дано ЛОДУ второго порядка и известно одно его частное решение:

- известное частное решение.

Понизим порядок уравнения на единицу при помощи следующей подстановки:

, где - новая неизвестная функция. Продифференцируем выражение дважды:

После подстановки в ЛОДУ и некоторых преобразований будем иметь:

Первая скобка в последнем выражении равна нулю (как результат подстановки частного решения в само уравнение), поэтому в окончательном виде уравнение в новой переменной получит выражение:

(74)

Уравнение (74) – линейное, неоднородное, первого порядка. Его можно решить методом вариации произвольной постоянной Лагранжа или методом Бернулли.

Пример. Решить предыдущий пример методом понижения порядка.

Подстановка:

В новой переменной заданное уравнение примет вид:

Его решение: Общее решение ЛОДУ следующее:

Следует упомянуть, что профессором Кислым А. А. разработан метод решения ЛОДУ с переменными коэффициентами второго, третьего и четвёртого порядков для целого ряда видов переменных коэффициентов. При этом производные неизвестной функции по времени заменяются её производными по новой переменной, что позволяет превратить ЛОДУ с переменными коэффициентами в ЛОДУ с постоянными коэффициентами, общее решение которого всегда может быть надено.

Дата добавления: 2014-01-07