КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Свойства функций распределения
Функция распределения Закон распределения случайной величины не всегда может быть задан таблицей. Например, если речь идет о непрерывной случайной величине, то все ее значения перечислить невозможно. Общий способ задания любых типов случайных величин осуществляется с помощью любых функций распределения. Пусть х – действительное число для случайной величины Х. Рассмотрим событие Х<х, т.е. событие состоящее в том, что Х примет значение < х. Рассмотрим вероятность этого события. Если х будет изменяться, то будет изменяться и вероятность, т.е. вероятность есть некоторая функция от х. Р(Х<х)=F(x) Функция распределения (интегральная функция распределения) случайной величины x называется функция F(х), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина примет значение < х. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F(х) непрерывно дифференцируема. 1. Функция F(х) – не убывающая функция, при х2³х1, следовательно F(х2)³F(х1). Доказательство: пусть Х – случайная величина. Х1 и Х2 – две произвольные точки, причем х1<х2. Сравним значение функции в этих точках. Так, как событие Х<x1 влечет за собой Х<x2, то вероятность также будет Р(Х<x1)£Р(Х<x2) F(x1)£F(x2) 2. Значение функции распределения принадлежит промежутку [0;1]. Свойство вытекает из определения 0£ F(x)£ 1, вероятность - есть неотрицательное число, не превышающее единицы. 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат промежутку (a;b), то значение функции распределения равно нулю, если х<а равно 1, то F(х)= 0 и F(х)= 1, если х>b, F(х)= 0 х<а F(х)= 1 х>b Доказательство. 1) Пусть х1£а, тогда событие X<х1 – невозможно, т.к. значения меньших х1, величина х по условию не принимает, следовательно его вероятность равна 0.
2) Пусть х2³b, тогда событие X<х2 достоверно, т.к. все возможные значения X<х2, следовательно вероятность такого события равна 1. Следствие: если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси ox, то справедливо следующее соотношение. ; . График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинаются от нуля и доходят до 1. Причем в отдельных точках функция может иметь разрывы. Для дискретной случайной величины график F(х) имеет ступенчатый вид. Пример: Два стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого в мишень равна 0,6, для второго 0,8. Составить таблицу распределения и построить ее график. Обозначим x -число попаданий в мишень, тогда x принимает значения:
A 1-попал первый;-не попал первый; A 2- попал второй; -не попал второй, ; ;
Вероятность попадания случайной величины в пределы заданного участка. Зная функцию F(x), вычислим вероятность того, что случайная величина примет значение заключенное в интервале (a;b). Пользуясь теоремой сложения вероятностей запишем вероятность того, что х<b будет складываться из вероятностей Р(х<b)=Р(х<a)+Р(а£х). Выразим Р(а£х<b)=Р(х<b)-P(x<a)=F(b)-F(a). Таким образом искомая вероятность равна приращению функции распределения на данном интервале. Отдельная вероятность попадания в точку. Полученную формулу нахождения вероятностей используем для х=а при условии, что Пример: Случайная величина задана функцией распределения F(x)= 0 x <2; F(x -2 ) 2 2£ x £3; F(x)= 1 x >3. Вычислить вероятность случайной величины в интервале P(3,5£ х £2,5) и Р (1< х <2,5). P (3,5< x <2,5)= F (3,5)- F (2,5)=1-(2,5-2)2=1-0,25=0,75; Р (1< х <2,5)= F (2,5)- F (1)=0,25.
Плотность распределения Непрерывную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения вероятностей случайной величины, которая является дифференцируемой функцией распределения. Рассмотрим непрерывную случайную величину x, функция распределения которой непрерывна и дифференцируема. Определение: плотностью распределения случайной величины x, называют первую производную от функции распределения f(x)=F(x). Установим вероятностный смысл. Из определения производной следует, что это есть предел от приращения функции к приращению аргумента. Разница функций распределения в точке х+Dх, это есть вероятность того, что х попадает в интервал от (х+Dх). Т.е. плотность распределения случайной величины в точке х, равно пределу отношения вероятности попадания случайной величины х в интервал от х до х+Dх к Dх, когда Dх ®0. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Задача. Зная плотность распределения величины x, вычислим вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу от (a;b). P(a<x<b)=F(b)-F(a)= Рассмотрим график плотности распределения. Кривая распределения имеет вид:
Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a;b) равно площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ox, кривой распределения f(x) и прямыми х=а, х=b. График функции y=f(x) – называется кривой распределения. Основные свойства плотности распределения. 1. Функция f(x) неотрицательна f(x)³0, как производная от неубывающей функции. 2. Несобственный интеграл от (-¥; ¥). Несобственный интеграл выражает вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (-¥; ¥). Такое событие всегда достоверно, его вероятность равна 1.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 460; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |