Замечания

а) из примера становится ясным, почему указанная процедура называется интегрированием по частям. Один интеграл вычисляется при определении , другим интегралом является , то есть вместо одного интегрирования производится два

б) в качестве в этом примере выбрана логарифмическая функция, поскольку она обладает высшим приоритетом по сравнению со степенной функцией,

в) при определении постоянную интегрирования обычно считают нулем, поскольку в качестве может использоваться любая из первообразных подынтегральной функции.

2.

3.

.

В этом примере для получения табличного интеграла пришлось интегрировать по частям дважды, при каждом интегрировании показатель степени степенной функции уменьшался на единицу. В итоге повторном применении указанной процедуры степенная функция из подынтегрального выражения исчезла, и интеграл стал проще.

4.

.

Отметим, что после дважды примененной процедуры интегрирования по частям табличного интеграла не получилось, но образовалась формула

,

из которой следует

или

.

Примечание. В третьем и четвертом примерах пришлось интегрировать по частям дважды. Иногда при повторном интегрировании по частям и заменяют другими символами, скажем, и . Это делать не обязательно ввиду того, что первое интегрирование по частям уже закончено, и используемые там символы "освободились".

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить интегралы

13. , 14. , 15. .

Некоторые классы интегрируемых функций

Основное заключение, к которому можно было прийти, анализируя решенные задачи, следующее. Вычисление нового интеграла это приведение его к одному или нескольким известным интегралам. Методов упрощения интегралов несколько, но они не всегда работают. Целесообразно выделить несколько классов наиболее важных, нужных для практики интегралов, затем предложить методику вычисления интегралов внутри каждого класса.

Дата добавления: 2014-01-07