Степенной ряд и его область сходимости

Тема 15. Степенные ряды

ЛЕКЦИЯ 15

ПЛАН

1. Степенной ряд и его область сходимости.

2. Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена.

3. Разложение в ряд Маклорена функций y = e^x, y =ln(x +1), y =(1+ x) ⁿ.

4. Приближенное вычисление значений функций и определенных интегралов с помощью степенных рядов.

Определение 1. Функциональным рядом называется формальное выражение , в котором знаком + соединены функции одной и той же переменной.

Функциональный ряд будем также записывать символом .

Примеры. или .

Определение 2. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

,

где коэффициенты действительные числа.

Отметим, что любая частичная сумма степенного ряда есть многочлен.

Определение 3. Областью сходимости степенного ряда называется множество тех и только тех точек x ₀Î R, для которых соответствующий числовой ряд сходится.

Любой степенной ряд сходится в точке x =0.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в некоторой точке , то он сходится, и притом абсолютно, для любого x Î R такого, что (без доказательства).

Теорема Абеля помогает описать, какой вид может иметь область сходимости степенного ряда. Логически возможны 3 случая:

1) ряд сходится только в точке x =0, например ряд ;

2) ряд сходится в каждой точке x Î R, например ряд ;

3) существует точка , в которой ряд сходится, и существует точка , в которой ряд расходится.

В третьем случае можно доказать: существует такое положительное число R, называемое радиусом сходимости степенного ряда, что:

1) для любого x Î R такого, что , ряд абсолютно сходится;

2) для любого x Î R такого, что , ряд расходится.

Определение 4. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал , где R - радиус сходимости этого ряда.

Замечание. В концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.

Задача 1. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Применим признак Даламбера. Данный ряд будет абсолютно сходиться, если и расходиться, если .

Имеем: . Следовательно, ряд абсолютно сходится, если ½ x ½<1, т.е. на интервале (-1;1).

Исследуем сходимость данного ряда в концах интервала сходимости.

Если x =1, то получаем числовой ряд , который расходится, как гармонический ряд.

Если x =-1, то получаем знакочередующийся ряд , который сходится по теореме Лейбница, но условно, так как расходится ряд из модулей.

Ответ. Область сходимости ряда - промежуток [-1;1).

Сумма степенного ряда есть функция, определенная на интервале сходимости степенного ряда. Обозначим эту функцию S (x).

Пусть- радиус сходимости ряда . Тогда:

1) сумма степенного ряда непрерывна на интервале ;

2) степенной ряд можно почленно дифференцировать, т.е.

если , то для любого ;

3) степенной ряд можно почленно интегрироват ь, т.е. для любого отрезка , лежащего в интервале сходимости , имеет место равенство:

Дата добавления: 2014-01-07