Проекции вектора на ось

Определение. Проекцией точки на ось в направлении проектирующей плоскости (проектирующей прямой ) называют точку пересечения оси с плоскостью (с прямой ), проходящей через точку параллельно плоскости (прямой ).

Определение. Векторной проекцией вектора на ось называют вектор оси , для которого точка есть проекция точки , точка есть проекция точки на эту же ось:

. (7.1)

Определение. Скалярной проекцией вектора на ось называют число , абсолютная величина которого равна модулю векторной проекции вектора на ось , причем , если направление вектора совпадает с направлением оси , и в противном случае.

(7.2)

Нетрудно показать, что векторная и скалярная проекции вектора на ось связаны соотношением

. (7.3)

Теорема 7.1. Проекциясуммы двух векторов на какую-либо ось равна сумме проекций векторов-слагаемых на эту же ось.

Замечание. Утверждение теоремы справедливо как для векторных проекций, так и для скалярных:

, (7.4)

. (7.5)

Теорема 7.2. Проекция произведения вектора на число на какую-либо ось равна произведению этого числа на проекцию данного вектора на эту же ось:

, (7.6)

. (7.7)

Следствие. Проекция на какую-либо ось линейной комбинации векторов равна точно такой же линейной комбинации (с теми же самыми коэффициентами) проекций на эту же ось векторов линейной комбинации.

Рассмотрим два произвольных (ненулевых) вектора и и отложим их от некоторой точки пространства.

Точка и вектор определяют луч , точка и вектор определяют луч . Лучи и в свою очередь определяют два угла. Тот из них, который не больше развернутого, будем называть углом между векторами и и обозначать .

Очевидно, что угол между векторами не зависит от выбора точки .

Определение. Углом между вектором и осью называют угол между вектором и ортом оси .

Теорема 7.3. Скалярная ортогональная проекция вектора на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между вектором и осью :

. (7.8)

Следствие. Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось

Дата добавления: 2014-01-07