Дослідження опуклості графіка функції

Означення 12.2. Будемо говорити, що функція

1) строго опукла вниз на інтервалі , і позначати , якщо ;

2) не строго опукла вниз на інтервалі , і позначати , якщо

;

3) строго опукла вгору на інтервалі , і позначати , якщо

;

4) не строго вгору на інтервалі , і позначати , якщо

;

5) опукла на , якщо функція задовольняє хоч одну з умов 1)-4).

Зауваження 12.2. Геометрично умова, наприклад, строгої опуклості функції на інтервалі означає, що для будь-якої внутрішньої точки відрізка відповідна точка графіка функції лежить нижче ніж точка , , хорди, що зв’язує кінці і графіка функції .

Теорема 12.4. (Необхідні і достатні умови опуклості функції в термінах функції нахилу). Нехай . Для довільної означимо функцію , яку будемо називати функцією нахилу функції . Тоді: 1) функція строго опукла вниз на інтервалі тоді і тільки тоді, коли для довільно вибраної точки функція строго зростає на інтервалі ; 2) функція не строго опукла вниз на інтервалі тоді і тільки тоді, коли для довільно вибраної точки функція не спадає на інтервалі . Тобто,

1) ;

2) .

Доведення. Доведемо тільки першу частину тереми. Розглянемо три можливі випадки розташування точок на інтервалі .

а) Нехай . Виберемо за число . Тоді , тому, . Отже,

Звідки випливає, що функція строго опукла вниз на інтервалі тоді і тільки тоді, коли функція на ньому строго зростає.

Аналогічно доводиться твердження і для наступних розташувань цих точок та . (Довести самостійно!!!)

Доведення другої частини теореми відрізняється від попередньої тільки заміною відповідних знаків строгої нерівності на знаки, нестрогої нерівності. (Довести самостійно!!!). Теорему доведено.

Теорема 12.5. (Необхідні і достатні умови опуклості функції, яка має похідну). Нехай функція визначена і має скінчену похідну на деякому інтервалі . Тоді: 1) функція строго опукла вниз на інтервалі тоді і тільки тоді, коли і функція строго зростає на цьому інтервалі тоді і тільки тоді, коли перша похідна функції строго зростає на цьому інтервалі; 2) функція не строго опукла вниз на інтервалі тоді і тільки тоді, коли перша похідна функції не спадає на цьому інтервалі. Тобто,

Доведення. Доведемо, наприклад, тільки твердження 2), так як інше доводиться аналогічно.

a) Необхідність. Нехай функція не строго опукла вниз на інтервалі . Покажемо, що тоді функція не спадає на , тобто для довільних точок з інтервалу таких, що , виконується нерівність . Для цього виберемо довільні точки . Згідно твердження попередньої теореми з умови нестрогої опуклості вниз функції випливає справедливість нерівностей . Перейшовши до границі в лівій частині останньої нерівності при умові, що , а в правій частині при умові, що отримаємо, що . Але за умовою існування скінченої похідної функції в усіх точках інтервалу випливає, що . Тому, , тобто, похідна не спадає на .

b) Достатність. Нехай похідна не спадає на . Зафіксуємо довільну точку і обчислимо похідну функції нахилу

.

Застосувавши теорему Лагранжа до другого доданка чисельника, отримаємо:

Дійсно, якщо , то , тому,. Отже, . Крім того, за умови існування скінченої похідної в довільній точці випливає, що існують і співпадають скінчені границі , а саме: ,

.

Тому, якщо доозначити функцію нахилу , в точці , як , то функція стане неперервною в цій точці. А значить, згідно твердження теореми 12.3., функція не спадає на всьому інтервалі , звідки за теоремою 12.4, випливає, що функція не строго опукла вниз на , що і потрібно було довести.

Завдання для самостійної роботи12.1. Довести перше твердження теореми 12.5.

Теорема 12.6. (Необхідні і достатні умови опуклості функції в термінах її другої похідної). Нехай в усіх точках інтервалу функція має другу скінчену похідну . Тоді:

1) функція не строго опукла вниз на тоді і тільки тоді, коли друга похідна функції є невід’ємною на .

2) функція строго опукла вниз на тоді і тільки тоді, коли друга її похідна невід’ємна на , і при цьому не існує жодного інтервалу , що лежить всередині , на якому друга похідна тотожньо дорівнює нулю.

Доведення. Твердження випливає з доведених теорем 12.5, 12.1, 12.2.

Зауваження 12.3. За означенням 12.2. легко бачити, що твердження теорем 12.4-12.6 залишаються в силі, якщо в цих теоремах замінити умову строгої або нестрогої опуклості вниз функції на умову відповідної опуклості вгору, умову зростання функції нахилу або похідної на умову її спадання, умову додатності або невід’ємності другої похідної на умову її від’ємності або недодатності відповідно.

Дата добавления: 2014-01-07