Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.

Теорема 14.1.5. Если ряд сходится, предел его общего члена при n®¥ равен нулю, т.е. (14.1.4)

Доказательство. Так как ряд сходится, то и . Тогда , но , откуда

Следствие. Если , ряд расходится.

Пример Исследовать на сходимость ряд

, ряд расходится.

Замечание. Следует иметь в виду, что утверждение, обратное необходимому признаку сходимости неверно. Признак недостаточен для сходимости ряда. Из условия не следует, что ряд сходится.

сходится

ряд сходится

В качестве примера рассмотрим гармонический ряд .

Как видим, , т.е. выполнен необходимый признак сходимости. Покажем, что при этом гармонический ряд расходится. Рассмотрим частичные суммы S_n и S_2n

(14.5)

Предположим, гармонический ряд сходится.

В этом случае и и , что противоречит равенству (14.5). Следовательно, предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т.е. гармонический ряд расходится.

Дата добавления: 2014-01-07