Властивості функцій, що мають похідну

Теорема 10.1 (Ферма). Нехай функція означена на інтервалі , і в деякій точці цього інтервалу приймає своє найбільше або найменше значення. Тоді, якщо в цій точці функція має похідну, то ця похідна рівна нулю. Тобто,

Доведення. Якщо існує похідна в деякій точці , то існують ліва і права похідні в цій точці, і . Нехай, наприклад, Тоді . Тому

отже, . Звідки, . Теорему доведено.

Теорема 10.2 (Ролля). Якщо функція неперервна на відрізку , має похідну в усіх його внутрішніх точках, і на кінцях відрізка приймає однакові значення, то знайдеться така точка з інтервалу , в якій похідна функції рівна нулю. Тобто,

Доведення. Можливі два випадки. По-перше, в усіх точках відрізка функція може приймати однакові значення, тобто, Тоді, .Отже, в цьому випадку - довільна точка інтервалу .

По-друге, в іншому випадку, знайдеться хоч одна точка така, що .Так як функція неперервна на замкненому відрізку , то вона приймає на ньому своє найменше ,

і найбільше значення . Але функція не є постійною на , тому або , або . Отже, або , або . Значить, для однієї з цих двох точок, або , і функції виконані умови теореми Ферма. Тому, або , або . Теорему доведено.

Дата добавления: 2014-01-07