Управление с обратной связью для линейных СРП. Применение моделей во временной и частотной областях. Анализ аналитической модели при построении САР

Лекция 11

Проанализируем выражение для определения температуры. В решении содержатся компоненты, соответствующие внутренним источникам тепла, тепловым потерям и начальному состоянию. В первой строке выражения записаны компоненты, формирующие среднее значение температуры по всему объему нагреваемого тела. В последующих строках записаны уточняющие выражения, обеспечивающие создание кривой распределения температуры по координате (r), отражая вклады начального распределения температуры , тепловых потоков и мощности .

Постановка задачи подразумевает, что указанные компоненты заранее обусловлены, то есть, выражены в виде определенных функций как во времени, так и в пространстве. Это приводит к тому, что временная зависимость температуры каждой точки может быть построена путем расчета для нескольких конечных моментов времени из неизменных начальных условий при неизменных значениях потоков тепла и мощности источников.

Более сложная ситуация, возникающая при использовании такой модели при разработке программного (многоинтервального) управления требует более громоздкого алгоритма.

Использование выражения (4) требует на каждом интервале пересчета начального распределения температуры, задания нового значения мощности (максимум или ноль), пересчета тепловых потоков (не всегда).

Рис.1. Алгоритм расчета температурного поля при программном управлении

на базе аналитической модели.

По результатам расчета рисуются кривые температур для разных точек.

Кривые температур построены для точек, находящихся на разном расстоянии от поверхностного слоя, в котором выделяется мощность. Кривые, находящиеся ниже, соответствуют более заглубленным слоям. В конце каждого интервала формируется распределение температур, которое необходимо использовать в качестве начального для следующего временного интервала. Средние значения температур для конца каждого временного интервала показаны на рис.3.

Аналогично кривым на рис.3 для начальных температур такие же зависимости необходимо учитывать для мощности и теплового потока.

В целом, процедура расчета температур в заданных точках и вспомогательных переменных не требует серьезных машинных затрат.. Добавление блока оптимизации, конечно, усложняет процесс расчета, но все же не приводит к значительным временным затратам.

Рис.2. Кривые температур при программном управлении на базе аналитической модели.

Рис.3. Средние значения начальных температур на интервалах при программном управлении на базе аналитической модели.

Более сложной задачей является использование аналитической модели при синтезе замкнутой системы управления. Здесь проявляются проблемы, связанные с распределенностью объекта. Формально можно перейти от выражения для температуры к изображению по Лапласу и передаточным функциям по различным каналам (мощность, тепловые потоки, начальное распределение температуры). Серьезной проблемой является интегральная связь выходной величины с входными величинами. Физическая сущность теплового процесса состоит в постоянном взаимодействии всех элементарных объемов нагреваемого тела, поэтому вычленение канала воздействия мощности из общего выражения для температуры приводит к существенному искажению картины и является в большинстве случаев некорректным. Исключением является ситуация с нагревом тонкого тела, когда толщина его меньше глубины проникновения тока. В этом случае кривые температур всех точек на рис.2 совпадают. Такой режим возможен и для так называемых «теплотехнически тонких» тел, находящихся в таких условиях, когда величина внутренних потоков теплопроводности сравнима с величиной потоков теплообмена с окружающей средой или с мощностью внутренних источников. Другими словами имеет место равенство внутреннего и внешнего термических сопротивлений. Для таких задач возможно упрощение выражения для температуры (4) путем исключения компонент, описывающих зависимости по координате, то есть приведения к виду, содержащему только первую строку, отвечающую за расчет средней температуры. В этом случае пространственные зависимости мощности, тепловых потоков и начальной температуры по логике превращаются в константы, и тогда вместо интеграла имеет место простое произведение

(1)

В этом случае при наличии зависимости входных величин от времени можно получить передаточные функции по каждому каналу в отдельности.

Необходимо отметить, что распределенная система с бесконечным числом точек преобразована в односвязную систему с сосредоточенными параметрами.

Нетрудно убедиться в том, что передаточные функции по каналам воздействия теплового потока и мощности представляют собой интегрирующие звенья. Структурная схема такого процесса будет иметь следующий вид

Рис.4 Структурная схема односвязной САР

Наличие только интегрирующих звеньев приводит к тому, что при фиксированном ограниченном значении теплового потока температура может возрастать практически до бесконечности. Для повышения точности модели необходимо предусмотреть зависимость теплового потока от температуры на выходе. С другой стороны, для оценки устойчивости системы управления вполне можно обойтись исследованием каналов нагрева и охлаждения поочередно, как и принято в таких случаях.

Рассмотрим гораздо более сложный случай, когда тело не является «теплотехнически тонким» и глубина проникновения меньше толщины тела или его радиуса. При таких условиях нельзя пренебрегать пространственной распределенностью тела, взаимодействием элементарных объемов через потоки теплопроводности. Применение преобразования Лапласа к такому сложному выражению напрямую не дает возможности получить передаточные функции в обычном их понимании. Предложенная Бутковским А.Г. структуризация процессов нагрева сводится к введению специальных звеньев, учитывающих процедуру пространственного интегрирования между входной и выходной величинами. В сущности, проблема осталась неразрешенной. Выходом из этой ситуации является дискретизация пространства, то есть замена однородного целого тела множеством соприкасающихся элементов аналогично тому, как это делается в численных методах (метод конечных разностей, метод конечных элементов).

Дата добавления: 2014-01-07