Операции над степенными рядами

Степенные ряды относятся к классу мажорируемых рядов в области их сходимости.

Теорема 1: Степенной ряд (2) является рядом на любом промежутке из интервала сходимости ряда, т.е. , где , – радиус сходимости ряда (2).

Доказательство:

Так как , то при ряд сходится, причём сходится абсолютно, т.е.

– сходится.

Но в рассматриваемом промежутке:

, , т.е. исходный ряд мажорируется сходящимся рядом.

Следствие: Сумма степенного ряда есть функция непрерывная на любом отрезке из интервала сходимости.

Теорема 2: Степенной ряд можно интегрировать на любом отрезке из интервала сходимости.

Теорема 3: Степенной ряд (2) можно дифференцировать на всём интервале сходимости, т.е. , причём: При этом интервалы сходимости исходного и полученного при дифференцировании ряда совпадают.

Доказательство:

Рассмотрим продифференцированный ряд: . Покажем, что он сходится также в . Действительно, рассмотрим:

Для исходного ряда: .

Итак, .

Дата добавления: 2014-01-07