Алгебраические критерии устойчивости

Критерии устойчивости автоматических систем

Лекция 9

Лекционные вопросы:

7.4. Критерии устойчивости автоматических систем

7.4.1. Алгебраические критерии устойчивости

7.4.2. Частотные критерии устойчивости

7.4.2.1. Графоаналитический критерий устойчивости Михайлова

7.4.2.2.Критерий устойчивости Найквиста

7.4.3. Оценка устойчивости автоматической системы по характерным точкам частотных характеристик

ТЕКСТ ЛЕКЦИИ № 9

В общем случае решение характеристического уравнения системы и анализ его корней позволяет оценить устойчивость системы. Однако решение уравнений более третьего порядка является трудоемким процессом. Не удобно при этом определять и критические параметры системы. Используя косвенные методы, проводят оценку знаков корней – критериев устойчивости. Наиболее известны две группы критериев: алгебраические и частотные.

К алгебраическим критериям устойчивости относятся критерий Рауса и критерий Гурвица. Более простой критерий Гурвица формулируется так:

0. (9.8)

Система с характеристическим уравнением (9.8) будет устойчивой, если >и специально составленный из его коэффициентов, определитель D (определитель Гурвица) и все его диагональные миноры положительны, т.е. >>>>

Определитель Гурвица (9.9) составляется следующим образом:

а₀ 0 0... 0

а₂ а₁ а₀... 0

а₄ а₃ а₂ ... 0

...

...

=... (9.9)

0 0 0...

0 0 0...

0 0 0... 0

- по главной диагонали сверху вниз и слева направо записываются коэффициенты

- в каждой строке вправо и влево от коэффициента, расположенного на главной диагонали, записываются другие коэффициенты так, чтобы индексы направо последовательно убывали, а влево - возрастали. Вместо отсутствующих коэффициентов ставятся нули.

Определитель Гурвица имеет n строк и n столбцов, т.е. порядок определителя равен порядку характеристического уравнения. Диагональный минор образуется из определителя Гурвица вычеркиванием левого столбца и верхней строки. Все последующие миноры образуются из предыдущего вычеркиванием левого столбца и верхней строки и выделены в определители (9.9) штриховыми линиями.

Если при >один из определителей диагональных миноров меньше нуля, то система неустойчива. Если один из определителей равен нулю, а остальные определители и положительны, то система находится на границе устойчивости.

Определители первого и второго порядков, получающиеся из (9.9), вычисляются по формулам:

Определители более высоких порядков можно найти методом разложения по строке или столбцу. Так, например, разлагая по левому столбцу определитель имеем выражение

.

Для систем первого, второго, и третьего порядков используют критерии, являющиеся частными случаями критерия Гурвица.

Для системы первого порядка, в соответствии с критерием Гурвица, получаем условие устойчивости: >и >, т.е. система первого порядка устойчива, если коэффициенты характеристического уравнения положительны.

Характеристическое уравнение системы второго порядка имеет вид

.

Составим определитель Гурвица

= .

В соответствии с критерием Гурвица, автоматическая система будет устойчива, если >, >, >.

Система второго порядка будет устойчивой, если все три коэффициента характеристического уравнения положительны.

Рассмотрим критерий устойчивости системы с характеристическим уравнением третьего порядка:

.

Определитель Гурвица имеет вид:

= .

Система, в соответствии с критерием Гурвица, будет устойчивой, если

>, >, >,

>.

Для того чтобы при >определитель также был положительным (> 0),необходимо, чтобы > 0.

При > 0, > 0, > 0, условие > 0 может быть выполнено только при > 0.

Таким образом, для обеспечения устойчивости системы с характеристическим уравнением третьего порядка следует соблюдение двух условий:

- все коэффициенты характеристического уравнения положительны:

> > , > >;

- произведение средних коэффициентов больше произведения крайних:

> .

Приведем оценку граничной устойчивости для систем низшего порядка.

Ранее указывалось, что коэффициент характеристического уравнения не может быть равен нулю (= к или = к + 1). Для системы первого порядка также не равен нулю. В противном случае члена просто не будет, поэтому система управления первого порядка не может быть на границе устойчивости.

Для системы второго порядка по той же причине ¹ 0 и ¹ 0, поэтому система второго порядка может быть на границе устойчивости, если = 0.

Система третьего порядка может быть на границе устойчивости, если все коэффициенты положительны и = . Убедимся в этом. Коэффициенты и положительны и не равны нулю по причинам вышеизложенным. Если один из коэффициентов или , или оба вместе равны нулю, то в соответствии с (9.9) система будет неустойчивой. Если один из коэффициентов отрицателен, то система также неустойчива. Таким образом, для того, чтобы система была на границе устойчивости, все коэффициенты должны быть положительными.

Дата добавления: 2014-01-07