Лекция 9. Расчет силы давления жидкости на криволинейные стенки. Закон Архимеда

Известно, что в общем случае система сил давления, приложенных к криволинейной поверхности, приводится к главному вектору и главному моменту сил давления. В частных случаях силы давления приводятся только к равнодействующей (главному вектору).

Равнодействующая сил давления определяется из выражения

(8.1)

Положение в пространстве вектора силы задано направляющими косинусами:

, , (8.2)

Примем, что ось z направлена вертикально вверх.

Горизонтальная составляющая Р_г (Р_х или Р_у) определяется по формуле

, (8.3)

где s _в - площадь проекции рассматриваемой криволинейной поверхности на вертикальную плоскость, нормальную к соответствующей оси координат (y _oz для силы Р _х, xoz для силы Р _у); р _т - абсолютное давление в центре тяжести площади s _в; р _а - атмосферное давление.

Направление действия силы Р _г зависит от знака величины р _т - р _а (при р _т - р _а>0 - наружу, при р _т - р _а<0 - вовонутрь жидкости), причем линия ее действия проходит через центр давления площади s _в.

Вертикальная составляющая силы определяется весом тела давления:

, (8.4)

где V _т.д. - объем тела давления.

Телом давления называется объем, ограниченный рассматриваемой криволинейной поверхностью, ее проекцией на пьезометрическую поверхность и боковой цилиндрической поверхностью, образующейся при проектировании (рис. 8.1).

Для криволинейно поверхности АВС (рис. 8.1) телом давления будет фигура ABCEFA, для криволинейно поверхности АDС - АDСEFA.

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила , равная по величине весу жидкости в объеме погруженной части тела V:

. (8.5)

Выталкивающая (Архимедова) сила приложена в центре тяжести объема погруженной части тела, называемом центром водоизмещения.

Плавающее тело обладает остойчи­востью (способностью возвращаться в состояние равновесия после получения крена) в случае, если точка пересечения линии действия выталкивающей силы с осью плавания (метацентр) лежит выше центра тяжести тела.

Пример 1. Секторный щит радиуса R и шириной В (рис. 8.2) перегораживает канал с жидкостью.

Определить силу давления жидкости и направление ее действия.

Решение 1. Вертикальная составляющая силы давления P _z = rgV _т.д, где V _т.д = pR ² B /4 (пьезометрическая поверхность в этой задаче совпадает со свободной поверхностью жидкости в канале, так как на ней давление атмосферное).

Сила Р_z приложена в центре тяжести объема тела давления и направлена вверх, так как любая элементарная сила давления жидкости dP любой точке щита дает при разложении вертикальную составляющую, направленную вверх.

2. Горизонтальная составляющая силы давления

направлена слева направо (все dP _г направлены от жидкости к стенке).

3. Результирующая сила давления жидкости

направлена по радиусу к оси щита; угол ее наклона к горизонту определяется из выражения:

.

Следовательно, a=57^о27¢.

Пример 2. В боковой плоской стенке резервуара с реактивным топливом (r = 800 кг/м³) имеется круглый люк диаметром d = 0,5 м, закрытый полусферической крышкой (рис. 8.3). Высота жидкости в резервуаре над осью люка Н = 3 м, вакуум на ее свободной поверхности р_в = 4,9 кПа.

Определить горизонтальную и вертикальную составляющие силы давления жидкости на крышку люка, а также величину их равнодействующей и ее направление.

Решение 1. Найдем положение пьезометрической плоскости, необходимой для определения объема тела давления. Так как на свободной поверхности жидкости – вакуум, пьезометрическая плоскость будет лежать ниже на расстоянии

м.

2. Определим вертикальную составляющую силы давления жидкости на крышку.

Пьезометрическая плоскость лежит выше оси крышки на

м,

следовательно, силы давления направлена наружу.

Для верхней половины крышка люка вертикальная составляющая направлена вверх, и ее величина определяется весом тела давления, заштрихованного на рис. 8.3 «справа вниз». Объем этого тела давления равен разности объемов полуцилиндра высотой h и четверти шара.

Для нижней половины крышки вертикальная составляющая силы давления направлена вниз. Объем тела давления для этого случая равен сумме объемов полуцилиндра и четверти шара (на рис. 8.3 заштриховано «слева вниз»).

Результирующая вертикальная сила равна разности этих двух сил, направлена вниз, и объем ее тела давления равен объему жидкости в крышке люка. Поэтому

Н.

Линия действия этой силы проходит через центр тяжести объема крышки люка на расстоянии от ее основания:

м.

3. Определим горизонтальную составляющую силы давления жидкости на крышку. По формуле

кН.

Сила направлена параллельно оси х, а линия ее действия лежит ниже этой оси, по (7.3), на

м.

4. Определим равнодействующую сил давления:

кН.

Косинус угла a между осью х и линией действия этой силы:

откуда a» 4^о.

Задача. 8.1. Горизонтальная цилиндрическая цистерна с полусферическими днищами целиком заполнена топливом (r = 800 кг/м³). Давление в верхней части цистерны, измеряемое манометром, р _м = 14,7 кПа, длина цистерны l = 5 м, ее диаметр d = 3 м (рис. 8.4).

Определить величины сил давления, растягивающих цистерну в сечениях А – А и В – В, и положение линий их действия.

Рис. 8.4

Ответ: Р _А-А = 187 кН, ниже горизонтальной оси цистерны на 0,167 м; Р _В-В = 390 кН, через центр тяжести объема цистерны.

Задача. 8.2. В днище резервуара с жидкостью (r = 800 кг/м³) имеется круглое спускное отверстие (d ₁ = 10 м), закрытое полусферическим клапаном (рис. 8.5).

Определить, при каком диаметре d ₂ цилиндрического поплавка клапан автоматически откроется при достижении высоты уровня жидкости в резервуаре Н = 2 м? длина цепочки, связывающей поплавок с клапаном, l = 0,95 м, вес подвижных частей устройства G = 30 H, избыточное давление на свободной поверхности жидкости р _и = 49 кПа.

Ответ: d ₂ = 0,295 м.

Рис. 8.5

Дата добавления: 2014-01-07