Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Комплексные числа

Читайте также:
  1. Внутрикомплексные соединения и их роль в биологических процессах.
  2. Выбор флегмовога числа.
  3. Дополнительный код числа.
  4. Извлечение корней из комплексного числа.
  5. Или комплексные спортивные мероприятия
  6. Комплексная степень комплексного числа.
  7. Комплексные (координационные) соединения
  8. Комплексные автоматизированные системы
  9. Комплексные показатели надёжности
  10. КОМПЛЕКСНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
  11. Комплексные трансформации
  12. Комплексные уравнения и векторная диаграмма реального трансформатора



Алгебраические многочлены и дробно-рациональ­ные функции.

Мнимая единица − это (imaginary). Так как , тоне может быть действительным числом. Комплексным числом называется сумма вида , где R. Число называется действительной частью , число называется мнимой частью . Записывается это так: . Множество (поле) всех комплексных чисел обозначают C.

 

  Поставим в соответствие комплексному числу точку с декартовыми координатами . Полярные координаты этой же точки обозначим . В таком случае . Поэтому . Ясно, что . В отличие от алгебраической записи , равенство называется тригонометрической записью комплексного числа . Число называют модулем , число аргументом ; их обозначения: .

 

Число называют сопряженным к числу . Ясно, что .
Если , , то . Перемножать комплексные числа удобнее, если использовать их тригонометрическую запись. Действительно,

.

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а их аргументы складываются. Это подсказывает еще одну форму записи комплексных чисел −показательную или экспоненциальную:. Более естественное обоснование формул Эйлера

,

связывающих показательную функцию и тригонометрические функции, будет дано
в теории степенных рядов.

Отметим свойства операции сопряжения: , , .

2˚. Алгебраические многочлены.Мы будем рассматривать алгебраические многочлены , зависящие от комплексной переменной , с комплексными
коэффициентами .

Теорема Гаусса (или основная теорема алгебры). Алгебраический многочлен степени имеет ровно (комплексных) корней с учетом их кратности.

Это означает, что существует разложение .
Здесь − корни многочлена, а натуральные числа кратности этих корней. Ясно, что .

Следствие 1.Пусть известно, что все коэффициенты многочлена действительные числа. В таком случае, если число является корнем кратности , то также − корень этого многочлена.

Доказательство*.Имеем , так как − действительные числа. Следовательно,

.

Следствие 2.Многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами.

Это вытекает из того, что .

3˚. Дробно-рациональные функции.Рациональной дробью называется отношение двух алгебраических многочленов. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. В противном случае дробь − неправильная. Деля числитель дроби на знаменатель, можно превратить неправильную дробь в сумму многочлена и правильной дроби. Поэтому, для того, чтобы суметь проинтегрировать любую рациональную функцию нужно научиться интегрировать правильные дроби. Для этого нам потребуется умение разбить правильную дробь на простые дроби и умение интегрировать простые дроби. Начнем с определения.



Определение.Дробь называется простой, если её знаменатель представляет собой линейную или квадратичную скобку в натуральной степени, а степень числителя на единицу, меньше чем степень многочлена, стоящего внутри этой скобки.

Теорема.Правильная дробь с действительными коэффициентами единственным способом может быть представлена в виде суммы простых дробей. Здесь каждой скобке в разложении знаменателя отвечает группа простых дробей, содержащих в знаменателях эту скобку в степенях от первой до той, с которой скобка входит в разложение знаменателе исходной дроби.

Пусть, например, . Тогда знаменатель можно разложить на множители минимальной степени =. Поэтому разбивается на простые дроби следующим образом: .Для нахождения значений обычно используют метод неопределенных коэффициентов. Мы обсудим этот прием при рассмотрении последующих примеров.

Доказательство теоремы* легко получить с помощью следующих двух лемм.

Лемма 1.Пусть − многочлены с действительными коэффициентами, − действительное число, причем и N. Существует единственное действительное число и многочлен с действительными коэффициентами такие, что выполняется тождество

.

Доказательство леммы 1.Рассмотрим разность

.

Многочлен делится на двучлен тогда и только тогда, когда , т.е. , так как .

Лемма 2.Пусть − многочлены с действительными коэффициентами, − комплексное число , . Пусть еще известно, что (иначе говоря, не делится ) и что N. Тогда существует единственная пара действительных чисел и многочлен с действительными коэффициентами , такие что

.

Доказательство леммы 2.Рассмотрим разность

.

Числитель последней дроби делится на квадратный трехчлен тогда и только тогда, когда или . Последнее отношение определено, так как . Запишем это отношение в виде . Тогда для нахождения чисел получим линейную систему с действительными коэффициентами: . Эта система имеет единственное (действительное) решение , так её определитель по условию отличен от нуля.





Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 177; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 23.20.129.162
Генерация страницы за: 0.011 сек.