Свободные незатухающие электрические колебания в колебательном контуре

Электрические колебания

ЛЕКЦИИ 15-16. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

1. Свободные незатухающие электрические колебания в колебательном контуре.

2. Свободные затухающие электрические колебания. Добротность системы.

3. Вынужденные электрические колебания. Резонанс.

4. Переменный электрический ток. Закон Ома, мощность переменного тока.

Как известно, закон Ома и правила Кирхгофа справедливы для постоянного тока. Однако они справедливы и для мгновенных значений квазистационарных токов, удовлетворяющих условию , где Т – период колебаний, τ – время, необходимое для передачи колебания на расстояние l, с – скорость его распространения в вакууме (). Если за время τ сила тока в цепи изменяется незначительно, ее мгновенные значения будут практически одинаковыми.

Рассмотрим квазистационарные токи и электрические колебания. Электрические колебания наблюдаются в цепи, содержащей колебательный контур (КК).

Колебательный контур – это электрическая цепь, состоящая из катушки

Рис.279

с индуктивностью L и конденсатора с электроемкостью С. Существует открытый и закрытый КК (рис.279).

Рассмотрим электрические колебания в закрытом КК с омическим сопротивлением R =0 (рис.280).

Пусть в момент времени t =0 конденсатор заряжен, ключ (к) в положении (1). Переключаем ключ в положение (2). Заряд на обкладке конденсатора сейчас – максимальный, равен q ₀, энергия его: энергия катушки -

Ток в цепи равен нулю (рис.281-1). Для аналогии рассмотрим пружинный маятник. В момент времени t =0 пружина сжата (рис.281-1). Потенциальная энергия пружины равна а кинетическая энергия В следующий момент времени после t =0 происходит разрядка конденсатора, и по цепи пойдет ток. При прохождении тока в катушке возникает изменяющееся во времени магнитное поле, создающее индукционный ток (явление самоиндукции), препятствующий нарастанию тока в цепи. Поэтому ток в цепи возрас-

Рис.281

тает медленно, и в момент времени (T – период колебаний) конденсатор разряжается полностью, а сила тока в цепи максимальна и равна I ₀. Энергия конденсатора равна , а катушки - (рис.281-2). Это соответствует свободному положению пружинного маятника, когда потенциальная энергия , а кинетическая энергия (рис.281-2).

Если не учитывать электромагнитное излучение, то в контуре выполняется закон сохранения энергии.

В следующий момент времени после происходит зарядка конденсатора. Поскольку ток в цепи убывает, в катушке возникает ток самоиндукции, который препятствует уменьшению тока в цепи. Поэтому убывание его происходит медленно, и к моменту времени ток равен нулю, а конденсатор заряжается полностью. Теперь энергия конденсатора а катушки - (рис.281-3). Соответственно, пружина маятника максимально растянута, его потенциальная энергия равна W _Па кинетическая энергия В следующий момент времени после происходит разрядка конденсатора и по цепи идет нарастающий ток. В дальнейшем соответственно происходят выше описанные процессы (рис.281-4, 5) и т.д.

Найдем закон изменения в цепи силы тока, напряжения и электрического заряда на конденсаторе.

Рассмотрим любой момент времени . Так как потери энергии нет, воспользуемся законом сохранения энергии:

.

(645))

Возьмем производную от выражения (645) по времени

.

Поскольку и , то

.

(646))

Введем обозначение:

,

(647))

где - циклическая частота незатухающего гармонического колебания. Тогда выражение (646) запишется в виде:

.

(648))

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее незатухающие гармонические колебания. Решением уравнения (648) является:

, (649)

где q ₀ – амплитуда заряда; φ ₀ – начальная фаза колебания.

Период колебания находим по формуле

(650))

Напряжение на конденсаторе

.

(651))

Сила тока в цепи

.

(652))

называется сдвигом фаз между силой тока и напряжением.

На графиках (рис.282) и (рис.283) представлены сдвиг фаз и зависимость силы тока и напряжения U _C от времени. Амплитуда напряжения на конденсаторе

(653)

и силы тока в цепи

.	(654)

Дата добавления: 2014-01-07