Универсальные структуры (из чего строятся фазовые и параметрические портреты)

Фазовые и параметрические портреты, возникающие при исследовании моделей в различных областях естествознания, имеют много общих черт. Можно сказать, что эти портреты строятся из некоторых «универсальных» блоков или структур. Своеобразие каждого конкретного портрета состоит в используемом наборе блоков и способе их сочетания. Что это за блоки?

Универсальными блоками фазового портрета грубой системы на плоскости естественно считать положения равновесия и предельные циклы вместе с топологической структурой их окрестностей. В грубых системах реализуются три типа положений равновесия и два типа предельных циклов; все они были описаны выше. Сепаратрисы связывают седловые положения равновесия с узлами (фокусами) и предельными циклами, образуя вместе с ними «каркас» фазового портре­та, определяющий поведение всех остальных траекторий системы. Отметим, что в грубой системе сепаратриса седла не может возвращаться в него же или идти в другое седло.

При построении параметрического портрета роль универсальных блоков играет описание отдельных бифуркаций. Поясним, что понимается под описанием бифуркаций.

В типичных случаях при бифуркациях фазового портрета изменяется не весь этот портрет, а некоторая его часть. При переходе через критическое значение параметра бифуркацию претерпевает какое-либо положение равновесия, предельный цикл, сепаратриса. Все бифуркационные события, т. е. перестройка качественной структуры, происходят в окрестности этого бифурцирующего множества (носителя бифуркации) в фазовом пространстве. В остальной части фазового пространства структура фазового портрета не меняется.

Ограничимся указанной областью фазового пространства, в которой происходит бифуркация Рассмотрим теперь окрестность бифуркационной точки в пространстве параметров. Эту окрестность можно разбить на множества, отвечающие различным типам фазовых портретов, т. е построить параметрический портрет в этой окрестности. Такое разбиение называют бифуркационной диаграммой. Бифуркационная диаграмма с указанием фазового портрета для каждого множества разбиения и есть описание бифуркации.

Таким образом, выделение универсальных блоков параметрического опи­сания системы связано с двумя идеями: изучением фазового портрета в фикси­рованной окрестности бифурцирующего множества в фазовом пространстве и описанием бифуркаций этого портрета при изменении параметров в достаточно малой окрестности бифуркационной точ­ки в пространстве параметров.

Дата добавления: 2014-01-07