Сложность» бифуркаций

В системах с одним параметром могут встречаться, как правило, лишь самые простые бифуркации. Так, для положений равновесия являются типичными две бифуркации: 1) слияние и исчезновение двух равновесий (или, наоборот, возникновение пары равновесий «из пустоты»);

2) потеря устойчивости положения равновесия, сопровождающаяся рождением устойчивого малого предельного цикла (либо исчезновением малого неустойчивого цикла).

В системах с двумя параметрами те же бифуркации, что и в однопараметрических, происходят, когда изображающая точка на плоскости параметров «пересекает» бифуркационные линии. Однако возможны и другие, так сказать, собственно двупараметрические бифур­кации, возникающие в окрестности точек пересечения или касания различных бифуркационных линий. Аналогично в системах с тремя параметрами встречаются однопараметрические, двупараметрические, а также трехпараметрические бифуркации (иначе их называют бифуркациями коразмерности 1, 2 и 3); первые происходят при пересечении бифуркационных поверхностей в пространстве параметров, вторые связаны с линиями, общими для двух бифуркационных поверхностей, третьи — с точками пересечения трех поверхностей.

Таким образом, каждая бифуркация характеризуется необходимым для ее реализации числом параметров. Это число, называемое коразмерностью бифуркации, можно трактовать несколько условно, как сложность бифуркации. Дело в том, что чем выше коразмерность бифуркации, тем больше ей отвечает различных фазовых портретов и тем сложнее сами эти портреты. Повышение сложно­сти бифуркаций наглядно иллюстрируют рис. 4.2, рис. 4.9 и рис. 4.20, представляющие некоторые бифуркации кораз­мерностей 1,2 и 3 соответственно.

Отсюда вытекает следующий практический вывод: для получения наиболее полной информации о качественных свойствах системы полезно находить и изучать в ней бифуркации максимальной коразмерности (точки максимального вырождения). Это положение было сформулировано А. М. Молчановым* в связи с обсуждением той ключевой роли, которую играет в биологии изучение критических (экстремальных) режимов функционирования биологических систем.

Еще одно важное замечание состоит в том, что фазовые портреты, получаемые при исследовании бифуркаций, также можно рассматривать как универсальные, но уже более крупные блоки полных фазовых портретов.

Из сказанного выше ясно, сколь важно изучение и описание бифуркационных диаграмм и фазовых портретов для различных бифуркаций, дающее основу для качественного и бифуркационного анализа конкретных систем. Общий подход к этой проблеме был предложен В. И. Арнольдом*, применившим идеи теории особенностей гладких отображений к анализу бифуркаций динамических систем. Основные моменты исследовательской программы, возникшей из указанного подхода, состоят в следующем:

1) изучаются бифуркации, которые являются в определенном смысле типичными для систем с данным числом параметров;

2) исследование бифуркаций проводится последовательно: сначала изучаются самые простые бифуркации, возникающие в системах с одним параметром, затем более сложные, встречающиеся в системах с двумя параметрами, тремя и т. д.;

3) для каждой бифуркации строится зависящая от параметров каноническая система («версальная деформация», «модельная система»), дающая универсальное, максимально полное описание бифуркации, из которого затем могут быть получены описания этой бифуркации в любой конкретной системе.

Дата добавления: 2014-01-07