Случай переменного числа частиц

Плотность квантовых состояний. Распределение Ферми - Дирака. Функция распределения частиц по энергиям. Энергия Ферми. Вырожденный электронный газ, температура вырождения. Распределение Бозе - Эйнштейна. Фотоны и фононы. Вывод формулы Планка из квантовой статистики Бозе - Эйнштейна.

Лекции 11. Квантовые статистические распределения.

Плотность квантовых состояний.

Энергия электрона, находящегося в трёхмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками, описывается выражением:

,

где , , – длины сторон прямоугольной ямы. Энергия электрона меняется не непрерывно, а дискретно, т.к. числа n ₁, n ₂, n ₃ могут принимать только целочисленные значения. Однако, если энергия частицы существенно больше энергии основного состояния, то разница между значениями соседних уровней энергии D Е значительно меньше самого значения энергии , тогда можно считать, что энергия электрона меняется практически непрерывно (квазинепрерывно).

Введём трёхмерное пространство, вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей которого отложены квантовые числа n ₁, n ₂, n ₃ (пространство квантовых чисел). Точка этого пространства, координата которой задаётся набором целым чисел (n ₁, n ₂, n ₃), называется узлом. Каждому узлу в пространстве квантовых чисел соответствует определённое значение энергии. Одному значению энергии электрона может соответствовать несколько состояний (например, отличающихся проекциями спина электрона ). Узлу можно сопоставить элементарный кубик с единичной длиной рёбер: , так что объём этого кубика равен единице: .

Пусть N – количество узлов, в которых энергия электрона не превышает некоторое фиксированное значение E. Если ввести обозначение , то выражение для энергии примет вид: ,

откуда . Тогда число узлов N равно отношению объёмов этой восьмой части сферы соответствующего радиуса (в которой все три координаты неотрицательные { n ₁>0, n ₂>0, n ₃>0} (т.е. в одной восьмой части сферы)) к объёму элементарного кубика:

.

Ниже учтём, что объём потенциальной ямы (в обычном пространстве) равен: , а величина - величина (нерелятивистского) импульса. Поэтому

.

Теперь рассмотрим фазовое пространство, каждая точка в котором задаётся 6-ю координатами – это три пространственные координаты и три проекции импульса . Частица, находящаяся в потенциальной яме, в состояниях, энергия которых не превышает некоторое значение E, движется в некоторой области шестимерного фазового пространства.

Т.к. величина импульса частицы не превосходит величины , то в импульсной части фазового пространства эта область задается соотношением - т.е. является шаром радиуса p, объём которого . Поэтому полная область в 6-ти мерном фазовом пространстве является прямым произведением прямоугольной трёхмерной ямы в обычном пространстве и шара в импульсном пространстве. Следовательно, величина объёма общей области в фазовом пространстве равна: . Тогда общее количество узлов равно: .

Обозначим возможное количество состояний, приходящихся на один узел как . Например, для электрона , т.к. возможны два состояния с одинаковым набором квантовых чисел, но различающиеся проекциями спина. Тогда общее число состояний G со значением энергии не больше E, равно: .

Замечание. Минимальное количество квантовых состояний (при ) равно: . Тогда элементарный объём фазового пространства, приходящийся на одно квантовое состояние, можно определить как отношение фазового объёма к количеству состояний: . Учитывая соотношения неопределённостей Гейзенберга для координат и проекций импульсов, записанные в виде , , , получаем выражение для элементарного объёма фазового пространства, соответствующего одному квантовому состоянию: .

В общем случае для количества состояний справедливо соотношение: .

Плотностью квантовых состояний называется такая функция , зависящая от энергии, что количество квантовых состояний, энергия которых не превышает значения E ₀, определяется равенством: , т.е. .

Т.к. можно записать: , то в рассматриваемом случае получаем равенство:

.

Оказывается, что полученное выражение справедливо для любых частиц.

Пример.

1) Для электронов: и , тогда , поэтому

.

2) Для фотонов можно считать, что , что соответствует двум независимым направлениям поляризации э/м волны. Т.к. , то . Поэтому .§

В классической физике распределение частиц по энергиям в фазовом пространстве описывается распределением Максвелла-Больцмана: , где Е_К и U - кинетическая и потенциальная энергии частицы, Т - температура, k - постоянная Больцмана, A - нормировочный коэффициент.

Для вывода статистических распределений необходимо найти наиболее вероятное распределение частиц, т.е. распределение, которое может быть реализовано наибольшим числом способов. По основному постулату статистической физики именно это распределение и является равновесным.

Предположим, что частицы не взаимодействуют друг с другом (модель идеального газа), а также, что все распределения, которые приводят к одной и той же суммарной энергии частиц, реализуются с одинаковой вероятностью.

Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц. Пусть число возможных состояний, в которых может находиться каждая из частиц, равно трём.

По классическим представлениям две частицы всегда различимы. Присвоим частицам номера 1 и 2. Если в каком-то состоянии частицы переставить просто местами, то получится новое состояние. Поэтому общее число состояний системы равно 9.

В квантовой механике тождественные частицы принципиально неразличимы. При перестановке местами тождественных частиц состояние системы не меняется. Поэтому занумеровать частицы нельзя. Если в одном состоянии может находиться только один фермион, то для бозонов никаких ограничений нет. Поэтому число состояний системы из бозонов равно 6, а из фермионов равно – 3.

Распределение Бозе-Эйнштейна.

Рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Пусть имеется длинный пенал, который может быть разделён на Z ячеек с помощью (Z -1) перегородок. Найдем число способов размещения N неразличимых частиц по ячейкам. В каждой ячейке может находиться произвольное число бозе-частиц. Будем считать, что система состоит из N частиц и (Z -1) перегородок, т.е. всего из N + Z -1 элементов. Общее число перестановок в системе из N + Z -1 элементов, равно (N + Z -1)!. Однако перестановки частиц (из-за их неразличимости) ничего не меняют. Число таких перестановок равно N!. Перестановки только перегородок тоже не приводят к новым распределениям, их число равно (Z -1)!. Таким образом, число способов W, с помощью которых N тождественных частиц могут быть распределены по Z ячейкам, равно

.

Это выражение определяет число способов, с помощью которых N бозонов могут быть распределены по Z состояниям. Каждый способ размещения частиц представляет собой определённое микросостояние системы. Следовательно, W - это число микросостояний, с помощью которых реализуется конкретное макросостояние системы. Т.е. W - это термодинамическая вероятность или статистический вес макросостояния системы.

В шестимерном фазовом пространстве уравнение , где E - энергия частицы, определяет изоэнергетическую поверхность, т.е. поверхность, все точки которой отвечают одному и тому же значению энергии частицы.

Слой с номером i между двумя поверхностями

и

будет тонким, если . В этом случае энергию всех частиц, попадающих в i -й слой, можно считать одинаковой и равной . Пусть число квантовых состояний для этого слоя равно , а количество частиц в пределах i - го слоя равно . Тогда статистический вес подсистемы, содержащей частиц, равен

.

Статистический вес всей системы равен произведению статистических весов отдельных её подсистем: .

Надо найти распределение, которое может быть реализовано наибольшим числом способов, т.е. распределение, для которого статистический вес W максимален. Т.е. нужно найти максимум выражения при заданном числе частиц системы и полной энергии системы .

Вместо поиска экстремума выражения будем искать максимум энтропии S, которая связана со статистическим весом соотношением Больцмана :

.

Для дальнейших преобразований воспользуемся формулой Стирлинга, согласно которой при : . При и получаем:

или , где величина - не зависит от числа частиц .

Чтобы найти максимум энтропии для заданного числа частиц системы N и энергии E, применяем метод множителей Лагранжа, согласно которому необходимо построить вспомогательную функцию (где l₁ и l₂ – постоянные множители) и найти её экстремум: .

Необходимые условия экстремума имеют вид:

или

, откуда .

Отношение представляет собой среднее число частиц, приходящихся на одну ячейку фазового пространства, т.е. на одно состояние в i -ом энергетическом слое.

Поскольку , то слагаемым в числителе можно пренебречь. Тогда для получаем:

.

Найдем множители Лагранжа l₁ и l₂. Т.к. все частные производные функции F равны нулю, то это означает, что равен нулю дифференциал этой функции dF, т.е. . Но так как число частиц системы N постоянно, то dN =0 и, поэтому .

Предположим теперь, что рассматриваемая система получает в обратимом процессе некоторое количество теплоты d Q при неизменном объеме V. Поэтому изменение энтропии системы равно . Поскольку V = const, то d A =0 и , следовательно, откуда . Множитель l₁ запишем в виде: , где m - некоторая функция параметров состояния системы, в частности, температуры. Эту функцию называют химическим потенциалом. С учетом выражений для l₁ и l₂ выражение для принимает вид: .

Освобождаясь от индекса i, окончательно получаем распределение Бозе-Эйнштейна:

.

Оно описывает распределение бозе-частиц по энергиям и определяет среднее число бозе-частиц , находящихся в квантовом состоянии с энергией E. Величину называют также числом заполнения энергетического уровня с энергией E.

Как следует из распределения Бозе-Эйнштейна, число бозе-частиц, находящихся на одном энергетическом уровне (в одном состоянии), ничем не ограничено и при малых значениях параметра может оказаться очень большим. Это важная отличительная особенность бозе-частиц.

Замечание. Химический потенциал m для систем бозонов с постоянным числом частиц N может принимать только отрицательные значения, т.е. m < 0. Действительно, если бы m мог быть положительным, то при E < m экспонента в знаменателе была бы меньше единицы: и соответствующие числа заполнения стали бы отрицательными, что невозможно.

Рассмотрим случай малых чисел заполнения: . Это условие выполняется при , или . Пренебрегая единицей по сравнению с экспонентой в знаменателе, получаем: , где . Мы видим, что при малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного бозе-газа, распределение Бозе-Эйнштейна переходит в классическое распределение Больцмана.

Газ, свойства которого отличаются от свойств классического идеального газа, называется вырожденным газом. Поскольку распределение Бозе-Эйнштейна существенным образом отличается от распределения Больцмана, то газ бозонов является вырожденным газом. И только в случае малой плотности () вырождение снимается и разреженный бозе-газ ведет себя подобно идеальному газу.

Число бозонов, находящихся на одном энергетическом уровне, может быть очень большим. Кроме того, при определённых условиях в системе бозе-частиц может происходить бозе-конденсация - скопление очень большого числа частиц в состоянии с энергией E =0. Именно с бозе-конденсацией связаны такие явления, как сверхтекучесть и сверхпроводимость.

Распределение Бозе-Эйнштейна используется для описания свойств систем, состоящих из бозе-частиц: как простых, например, фотонов, фононов, так и более сложных, составных, например, атомов , электронов, образующих куперовские пары, и т.д. С его помощью описываются свойства теплового излучения, теплоемкость кристаллов и многие другие физические явления. Что же касается поведения обычных газов, атомы которых являются бозе-частицами, то анализ показывает, что при нормальных температурах и давлениях эти газы не являются вырожденными и подчиняются классической статистике. Вырождение наступает либо при очень низких температурах, либо при очень высоких давлениях, т.е. при тех условиях, при которых газы перестают быть идеальными. Таким образом, для этих газов статистика Бозе-Эйнштейна в той области, в которой справедлива кинетическая теория газов, практически не отличается от классической статистики Больцмана.

При выводе распределения Бозе-Эйнштейна число частиц системы N оставалось постоянным. Какой вид имеет распределение Бозе-Эйнштейна для системы с переменным числом частиц? Примером такой системы является тепловое излучение внутри замкнутой полости. Стенки полости непрерывно поглощают и испускают излучение, поэтому число фотонов внутри полости постоянно меняется. Фотоны являются бозе-частицами и при не очень сильных (нелазерных) интенсивностях излучения не взаимодействуют друг с другом. Так что излучение в замкнутой полости представляет собой идеальный бозе-газ фотонов с переменным числом частиц.

Рассмотрим систему бозонов с переменным числом частиц N. Решаем задачу также как и выше. Поскольку в данном случае , то при нахождении условного экстремума энтропии S методом множителей Лагранжа вместо функции следует взять функцию (исчезло условие постоянства числа частиц системы). Поэтому соответствующий множитель Лагранжа l₁ = 0. В силу того, что химический потенциал m и множитель l₁ связаны соотношением m=l₁Т, получаем, что и m=0. Таким образом, химический потенциал системы бозонов с переменным числом частиц равен нулю и распределение Бозе-Эйнштейна для систем с переменным числом частиц принимает вид: .

Пример. Получим формулу Планка для равновесного теплового излучения из распределения Бозе-Эйнштейна.

Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенки которой нагреты до некоторой температуры Т. Это излучение представляет собой идеальный газ фотонов. Поскольку для фотонов , то .

Энергия излучения в узком энергетическом интервале от E до E + dE складывается из энергий отдельных фотонов. Плотность квантовых состояний g(E), т.е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал, для фотонов определяется выражением: . Произведение g(E) на dE дает число квантовых состояний, заключённых внутри интервала dE. Умножая это произведение на среднее число фотонов в данном состоянии и на энергию фотона E, получаем, что суммарная энергия фотонов в интервале dE равна: .

Данному энергетическому интервалу (от E до E + dE) соответствует частотный интервал, т.е. интервал частот от до . Получим выражение для той же самой энергии с помощью объёмной спектральной плотности энергии излучения , которая представляет собой энергию излучения в единичном частотном интервале, отнесённую к единице объёма. Т.к. энергия фотонов в частотном интервале равна , (V - объём полости), то

или ,

откуда приходим к формуле Планка:

.

Следует отметить, что именно с этой формулы началось становление квантовой механики.

Дата добавления: 2014-01-07