Электронный газ в металлах

Применим статистику Ферми-Дирака к описанию электронов проводимости в металлах. Будем рассматривать свободные электроны, т.е. ту часть атомных электронов, которая может свободно перемещаться по всему проводнику. Именно эти электроны, в отличие от электронов, заполняющих внутренние электронные оболочки атомов, обеспечивают электропроводность металлов. Поэтому их называют электронами проводимости.

Замечание. Электроны проводимости в металлах не являются, вообще говоря, абсолютно свободными, т.к. испытывают взаимодействие с ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки. Поэтому электроны находятся в усреднённом электрическом поле положительных ионов. Но внутри металла средняя суммарная сила, действующая на свободный электрон практически равна нулю, тогда как вблизи границы эта сила стремится вернуть электроны внутрь металла. Таким образом, можно рассматривать идеальный газ свободных электронов, находящихся внутри металла как в потенциальной яме.

Рассмотрим поведение электронного газа при T = 0. В этом случае электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях. Согласно принципу запрета Паули в каждом состоянии может находиться не более одного электрона, но т.к. электроны могут различаться проекцией спина , то на каждом энергетическом уровне будет находиться по два электрона с различной ориентацией спинов. Два электрона заполняют самое низшее энергетическое состояние. Третий и четвертый электроны находятся на первом возбуждённом энергетическом уровне, следующая пара электронов - на втором возбуждённом уровне и т.д. Если число электронов в металле равно N, то при T =0 будут заполнены первые уровней с энергией . Все остальные уровни с энергией будут свободны. Сравнивая полученный результат с распределением Ферми-Дирака при T =0, приходим к выводу, что максимальная энергия электронов совпадает с энергией Ферми .

Хотя энергия электронов в металле квантуется и энергетический спектр электронов является дискретным, но уровни энергии расположены настолько плотно, что энергетический спектр электронов можно считать практически непрерывным (квазинепрерывным).

Найдем функцию распределенияэлектронов проводимости по энергии. Плотность квантовых состояний для электронов в металле: .

Произведение на ширину энергетического интервала dE определяет число состояний, приходящихся на интервал энергий от E до E + dE. Умножая это произведение на < n >, т.е. на вероятность заполнения данного энергетического состояния, находим число электронов dN, энергия которых лежит в интервале от E до E + dE.

Интегрируя это выражение по энергии, получаем полное число свободных электронов в металле: .

Запишем аналогичные выражения для концентрации электронов . С учетом вида получаем: и .

Функция называется функцией распределения свободных электронов по энергиям. При T = 0 функция F (E) имеет вид:

и распределение электронов по энергиям описывается выражением:

.

Замечание. Функции распределения играют в статистической физике очень важную роль. Так, например, если известна функция распределения частиц по энергиям F (E), то можно найти среднее значение любой физической величины f, зависящей от E. Оно определяется соотношением:

.

Получим выражение для энергии Ферми при T =0. Поскольку при абсолютном нуле температуры при и при , то верхний предел интеграла в выражении для n можно заменить на :

.

Тогда отсюда получаем, что . Из этого соотношения можно по известному значению концентрации найти энергию Ферми , или, наоборот, по известной энергии Ферми найти концентрацию свободных электронов в металле.

Пример. Оценим величину энергии Ферми для свободных электронов в металле при T =0. Пусть

n = 5×10²² см^-3 = 5×10²⁸ м^-3 , тогда эВ. Таким образом, по порядку величины составляет несколько электрон-вольт.§

Наряду с энергией Ферми вводится понятие температуры Ферми T_F: .

Но , поэтому .

Пример. При значении = 5 эВ температура Ферми имеет величину T_F = 60000 K, что более чем в 200 раз превышает комнатную температуру. §

Рассмотрим случай T > 0, когда ступенька в распределении Ферми-Дирака, характерная для T = 0, размывается и переход от заполненных электронами состояний к незаполненным происходит более плавным образом.

Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину ~ kT, заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину ~ kT, оказываются свободными. И только в области энергий шириной ~ kT вблизи энергии Ферми имеются состояния, частично заполненные электронами. Однако, хотя ширина этой области, как правило, невелика по сравнению с энергией Ферми, эта область играет очень важную роль. Только электроны, заполняющие состояния в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах, происходящих в металлах. Только их энергия может изменяться в ходе этих процессов.

Получим выражение для энергии Ферми E_F при отличной от нуля температуре металла. В этом случае:

.

Это выражение позволяет в принципе найти энергию Ферми E_F как функцию температуры T и концентрации электронов n. Однако в общем случае интеграл точно не берётся. Приближённое значение интеграла удается получить при . В этом случае для энергии Ферми получаем:

.

Так как условие выполняется для всего диапазона температур, при котором металлы существуют в твердом виде, то это соотношение справедливо для всех реализуемых на практике случаев. Более того, во многих ситуациях эта поправка оказывается ничтожно малой, так что ей можно пренебречь и считать, что . Действительно, если взять эВ, то при комнатной температуре, т.е. при эВ, относительная величина поправки к составляет .

Однако, для понимания ряда физических явлений, таких, например, как поведение теплоёмкости металлов при низких температурах или объяснение термоэдс, зависимость E_F от T имеет принципиальное значение.

Замечание. Из распределения свободных электронов в металле по энергиям можно также получить распределения электронов по импульсам p и по скоростям v. Эти распределения получаются с использованием соотношений: и .

Вырожденный электронный газ.

Вырожденный электронный газ - это газ, свойства которого существенно отличаются от свойств классического идеального газа из-за неразличимости одинаковых частиц в квантовой механике. Газ, состоящий из квантовых частиц, оказывается вырожденным тогда, когда среднее расстояние между частицами становится меньше или сравнимым с дебройлевской длиной волны частицы , т.е. . Когда это условие нарушается в случае разреженных газов квантовые распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Больцмана.

Температурой вырождения называется температура, ниже которой проявляются квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его частиц. Для газа, состоящего из бозе-частиц, температура вырождения определяется как температура, ниже которой происходит бозе-конденсация, т.е. переход заметной доли частиц в состояние с нулевой энергией. (Именно с бозе-конденсацией связаны такие интересные физические явления, как сверхтекучесть жидкого гелия, т.е. его способность протекать через тонкие щели и капилляры без какой-либо вязкости, и сверхпроводимость некоторых металлов и сплавов.)

Для газа, состоящего из ферми-частиц, температурой вырождения является температура Ферми T_F. Как следует из выражения: , температура вырождения тем больше, чем меньше масса частиц и чем больше их концентрация, поэтому T_F особенно велика у электронного газа в металлах: T_F ~10⁴ К.

При температуре T < T_F, т.е. при , электронный газ в металлах является вырожденным. При температуре T > T_F, т.е. при , электронный газ невырожден.

Замечание. Поскольку температура Ферми для металлов имеет величину T_F ~ 10⁴ K, то электронный газ в металлах оказывается вырожденным при всех температурах, при которых металл остается в твердом состоянии.

В полупроводниках характер поведения электронного газа зависит от величины концентрации носителей заряда. В примесных полупроводниках при высокой концентрации донорной примеси электронный газ может оказаться вырожденным. В полупроводниках с акцепторной примесью свойствами вырожденного газа может обладать газ дырок. Такие полупроводники называются вырожденными полупроводниками.

Для обычных газов, состоящих из атомов или молекул, являющихся ферми-частицами, температура вырождения близка к абсолютному нулю. Поэтому такие газы во всей области температур вплоть до температуры сжижения являются невырожденными и подчиняются классической статистике Максвелла-Больцмана.

Пример. Вычислим интервал между соседними энергетическими уровнями свободных электронов в металле при T = 0 вблизи уровня Ферми. Считайте, что концентрация свободных электронов n =10²⁸ м^-3.

Решение: Для решения задачи воспользуемся выражением , где DE - разность энергий между ближайшими энергетическими уровнями, а D n - изменение числа электронов при переходе на соседний уровень. Поскольку на каждом уровне при T = 0 находится два электрона, то D n =2. Подставляя в приведённое соотношение выражение для энергии Ферми, получаем: эВ. Это настолько ничтожно малая величина, что обнаружить её практически невозможно. Поэтому энергетический спектр свободных электронов в металле можно считать непрерывным (квазинепрерывным).

Дата добавления: 2014-01-07