Кинематический анализ механизмов с использованием аналитических методов

Применение ЭВМ при кинематическом анализе механизмов связано с разработкой соответствующих алгоритмов расчета. Часто такие алгоритмы реализуются с использованием уравнений преобразования координат в матричной форме. Этот метод позволяет для любых механизмов сравнительно просто автоматизировать процесс вычислений средствами ЭВМ при использовании стандартных программ преобразования координат звеньев, образующих наиболее распространённые кинематические пары.

Задача о положениях звеньев

Метод преобразования координат

Проиллюстрируем этот метод на примере определения положения звеньев плоского механизма манипулятора, полученного из незамкнутой кинематической цепи (рис. 2.13). Число степеней подвижности манипулятора

W =3 n –2 p ₅ – p ₄ = 3·3 – 2·3 = 3.

Рис. 2.13. Схема систем координат для определения положения точки В.

Дано: длины звеньев l ₁ = ОА, l ₂ = АВ, и координаты произвольно выбранной точки С ₃(X_{С 3}, Y_{С 3}) в подвижной системе координат X ₃ ВY ₃, связанной со звеном 3, а также углы φ₁₀ , φ₂₁, φ₃₂. В индексах первым указан номер звена, к

которому относится угол поворота, вторым – номер звена, от которого угол поворота отсчитывается.

Требуется: определить координаты точки В относительно неподвижной системы координат X ₀ OY ₀ (стойки).

На рис. 2.13 показаны три системы координат. Система координат X ₀ OY ₀ неподвижна, связана со стойкой и исходит из точки О.

Система X ₁ ОY ₁ подвижна, связана со звеном 1 и исходит из точки О. Система X ₁ ОY ₁ повернута относительно системы X ₀ OY ₀ на угол φ₁₀.

Система координат X ₂ АY ₂ подвижна, связана со звеном 2 и исходит из точки А. Система X ₂ АY ₂ повернута относительно системы X ₁ OY ₁ на угол φ₂₁. Начало координат системы X ₂ АY ₂ смещено относительно точки О вдоль оси X ₁ на расстояние l ₁.

Система X ₃ ВY ₃ повернута относительно системы X ₂ АY ₂ на угол φ₃₂ и смещена вдоль оси X ₂ на расстояние l ₂.

Если ввести в рассмотрение точки С ₀, С ₁, С ₂, которые в данный момент времени совпадают с точкой С ₃, но принадлежат соответственно звеньям О (стойка), 1, 2, то получим систему уравнений преобразования координат:

из системы X ₃ ВY ₃ в X ₂ АY ₂

Х_{С 2} = Х_{С 3}∙cos φ₃₂ – Y_{C 3}∙sin φ₃₂ + l ₂;

Y_{C 2} = Х_{С 3}∙ sin φ₃₂ + Y_{C 3} ∙cos φ₃₂.

Из системы X ₂ АY ₂ в X ₁ ОY ₁

Х_{С 1} = Х_{С 2}∙cos φ₂₁ – Y_{C 2}∙sin φ₂₁ + l ₁;

Y_{C 1} = Х_{С 2}∙ sin φ₂₁ + Y_{C 2} ∙cos φ₂₁.

Из системы X ₁ 0Y ₁ в неподвижную систему X ₀ 0Y ₀

Х_{С 0} = Х_{С 1}∙cos φ₁₀ – Y_{C 1}∙sin φ₁₀;

Y_{C 0} = Х_{С 1}∙ sin φ₁₀ + Y_{C 1} ∙cos φ₁₀.

Решение системы шести линейных уравнений с шестью неизвестными позволяет найти координаты точки С ₀ в неподвижной системе координат (Х_С0, Y_С0). При решении этой задачи на ЭВМ удобно эту систему уравнений представлять в матричной форме.

Математические модели групп Ассура 2-го класса и начального звена

Начальное звено ( рис. 2.13).

Дано: длина звена l _ОА и обобщенная координата – угол φ₁.

Найти: координаты точки А: х _А (φ₁), у _А (φ₁).

Решение: х_А (φ₁) = l_ОА∙ cos φ₁, у_А (φ₁) = l_ОА∙ sin φ₁.

Группа Ассура 2-го класса 1-го вида (рис. 2.14).

Дано: координаты точек А и В в зависимости от обобщенной координаты φ₁: х_А (φ₁), у_А (φ₁); х_В (φ₁), у_В (φ₁); длины звеньев l_АС, l_ВС, индекс сборки N_C.

Найти: х_С (φ₁), у_С (φ₁); θ _АС (φ₁), θ _BС (φ₁).

Рис. 2.14. Группа Ассура 2-го класса 1-го вида.

Сплошные линии – индекс сборки N _C = 1, штриховые линии – индекс сборки N _C = –1.

Для простоты написания формул в дальнейшем х_А (φ₁), у_А (φ₁); х_В (φ₁),

у_В (φ₁); х_С (φ₁), у_С (φ₁); θ _АС (φ₁), θ _BС (φ₁) обозначим в виде х_А, у_А; х_В, у_В; х_С, у_С;

θ _АС , θ _BС.

Решение: ; АВ = [ (х_В – х_А)² + (у_В – у_А)² ] ^0,5;

α = arcсos [(АС ² + АВ ² – СВ ²)/(2∙ АС ∙ АВ)];

β = arcсos [(ВС ² + АВ ² – АС ²)/(2∙ АС ∙ АВ)];

θ _АС = θ + N_C ∙ α, θ _BС = θ + π – N_C ∙ β.

х_С = х_А + (АС)∙ cos θ _АС, у_С = y_А + (АС)∙ sin θ _АС.

Группа Ассура 2-го класса 2-го вида ( рис. 2.15).

Рис. 2.15. Группа Ассура 2-го класса 2-го вида.

Сплошные линии – индекс сборки N_C = 1, штриховые линии - индекс сборки N_C = –1.

Дано: координаты точки А: х_А, у_А ; х_В, у_В; длина звена l_АС, дезаксиал е, индекс сборки N_C.

Найти: х_С, у_С; θ _АС.

Решение: d = – х_А sin α + у_А cos α – е,, β = arcsin [ d /(АС) ],

θ _АС = π + α – β - для сборки N_C = 1; θ _АС = α + β - для сборки N_C = – 1;

х_С = х_А – (АС)∙ cos θ _АС, у_С = y_А – (АС)∙ sin θ _АС.

Группа Ассура 2-го класса 3-го вида ( рис. 2.16).

Дано: координаты точек А и В: х_А, у_А ; х_В, у_В;

Найти: θ _АВ.

Решение: .

Рис. 2.16. Группа Ассура 2-го класса 3-го вида.

Дата добавления: 2014-01-07