КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теорема (достаточный признак выпуклости графика функции)
Направления выпуклости, точки перегиба. Определение. График функции у=f(x) называется выпуклым вниз в данном промежутке, если он целиком расположен выше касательной в его произвольной точке (рис.17.7). График функции у = f(x) называется выпуклым вверх в данном промежутке, если он целиком расположен ниже касательной в его произвольной точке (рис.17.8). Если вторая производная функции у = f(x) положительна в данном промежутке, то график функции является выпуклым вниз в этом промежутке; если же вторая производная отрицательна в данном промежутке, то график функции является выпуклым вверх в этом промежутке.
Пример. Найти интервалы выпуклости графика функции f(x) = . Решение. Найдём вторую производную функции f ''(x) = . Так как f ''(x)<0 при х < 2 и f ''(x)>0 при х > 2, то график функции является выпуклым вверх в интервале (−¥;2) и выпуклым вниз ─ в интервале (2;+¥).
Определение. Точкой перегиба графика функции у = f(x) называется такая его точка М0 (рис.17.9.), в которой меняется направление выпуклости. Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если в точке х = х0 вторая производная функции у = f(x) обращается в нуль и меняет знак при переходе через неё, то М0(х0;f(x0)) ─ точка перегиба графика этой функции.
Например, в предыдущей задаче мы установили, что f ''(2) = 0 и f ''(x) меняет знак при переходе через эту точку. Следовательно, х = 2 ─ точка перегиба графика функции f(x) = .
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1459; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |