Теорема (достаточный признак выпуклости графика функции)

Направления выпуклости, точки перегиба.

Определение. График функции у=f(x) называется выпуклым вниз в данном промежутке, если он целиком расположен выше касательной в его произвольной точке (рис.17.7). График функции у = f(x) называется выпуклым вверх в данном промежутке, если он целиком расположен ниже касательной в его произвольной точке (рис.17.8).

Если вторая производная функции у = f(x) положительна в данном промежутке, то график функции является выпуклым вниз в этом промежутке; если же вторая производная отрицательна в данном промежутке, то график функции является выпуклым вверх в этом промежутке.

Пример. Найти интервалы выпуклости графика функции f(x) = .

Решение. Найдём вторую производную функции f ''(x) = . Так как f ''(x)<0 при х < 2 и f ''(x)>0 при х > 2, то график функции является выпуклым вверх в интервале (−¥;2) и выпуклым вниз ─ в интервале (2;+¥).

Определение. Точкой перегиба графика функции у = f(x) называется такая его точка М₀ (рис.17.9.), в которой меняется направление выпуклости.

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба).

Если в точке х = х₀ вторая производная функции у = f(x) обращается в нуль и меняет знак при переходе через неё, то М₀(х₀;f(x₀)) ─ точка перегиба графика этой функции.

Например, в предыдущей задаче мы установили, что f ''(2) = 0 и f ''(x) меняет знак при переходе через эту точку. Следовательно, х = 2 ─ точка перегиба графика функции f(x) = .

Дата добавления: 2014-01-07