Понятие об основных методах интегрирования

К числу важным методам интегрирования относятся методы: непосредственного интегрирования; замены переменной; интегрирования по частям.

Метод непосредственного интегрирования основан на свойстве 4 неопределённого интеграла и использует таблицу основных неопределённых интегралов.

Пример 1. ò ()dx = ò dx + ò dx - ò dx = ℓnôô+ 2+ + C.

Пример2. ò dx = ò dx = ò dx = ò dx + ò dx = tgx – ctgx + C.

Метод замены переменной (или метод подстановки) основан на следующей теореме.

Теорема. Если F(x) ─ первообразная функции f(x), а х = j(t) ─ дифференцируемая функция f(j(t))j'(t) также имеет первообразную, причём

ò f(j(t))j'(t)dt = F(j(t)) + C.

Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции

(F(j(t)))' = F'(j(t)) × j'(t) = f(j(t))j'(t),

т.е. функция f(j(t))j'(t) имеет в качестве одной из своих первообразных функцию F(j(t)). Следовательно,

ò f(j(t))j'(t)dt = F(j(t)) + C.

Поскольку

F(j(t)) + C = F(х) + C = ò f(х)dх,

то

ò f(х)dх = ò f(j(t))j'(t)dt. (*)

По формуле (*) осуществляется замена переменной в неопределённом интеграле.

Пример 1. ò sin(2 - 3x)dx = [2 – 3х = t, d(2 – 3x) = dt, -3dx = dt, dx = -dt] = ò sint(-dt) = = - ò sintdt = cost + C = cos(2 – 3x) + C.

Пример 2. ò = [= t – x ─ подстановка Эйлера, t = x + ,

dt = (1 + ) dx, dt = dx, dt = dx, = ] = ò =

= ℓnôtô+ c = ℓnôx + ô+ c.

Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле

ò udv = u × v ─ ò v du,

где u = u(x), v = v(x) ─ некоторые дифференцируемые функции.

Пример 1. ò хsin2xdx = [u = arctgx, dx = dv, du = (arctgx)'dx, du = dx, v = x] = xarctgx ─ ò dx. Вычисляем последний интеграл [t = 1 + x², dt = 2xdx, xdx = dt] =

= ò dt = ℓnôtô+ C = ℓnô1+x²ô+ C.

Теперь ò arctgxdx = x arctgx ─ ℓnô1+x²ô+ C.

Пример 2. ò e^x cosxdx = [u = e^x, dv = cosxdx, du = e^xdx, v = ò cosxdx = sinx] = e^xsinx ─ ò e^xsinxdx = [e^x = u, dv = sinxdx, du = e^xdx, v = -cosx] = e^xsinx + e^xcosx ─ ò cosx ×e^xdx.

Итак,

ò e^x ×cosxdx = e^x(sinx + cosx) ─ ò cosx ×e^xdx.

2ò cosx ×e^xdx = e^x(sinx + cosx),

ò cosx ×e^xdx = e^x(sinx + cosx) + C.

Дата добавления: 2014-01-07