Основные методы интегрирования

К таким относятся методы: замены переменной; интегрирования по частям.

Теорема (о замене переменной в определённом интеграле).

Пусть ─ непрерывная функция на отрезке []. Тогда если: 1) функция = φ(t) дифференцируема на и φ'(t) непрерывна на ; 2) множеством значений функции = φ(t) является отрезок []; 3) φ, φ, то справедлива формула

= (*)

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница

= ,

где - некоторая первообразная для на . Рассмотрим сложную функцию . По правилу дифференцирования сложной функции

.

То означает, что функция является первообразной для функции , непрерывной на , и, поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем

= = = =.

Теорема доказана.

Формула (*) называется формулой замены переменной или подстановки в определённом интеграле.

Замечание 1. Если при вычислении неопределённого интеграла с помощью замены переменной мы возвращались от новой переменной к старой, то при замене переменной в определённом интеграле делать этого не надо.

Пример.

==

== .

Теорема (об интегрировании по частям в определённом интеграле).

Если функции и непрерывны вместе со своими производными и на , то справедлива формула

(**)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определённом интеграле.

Доказательство. Так как функции и имеют по условию производные, то по правилу дифференцирования произведения

,

т.е. функция является первообразной для функции . Так как эта функция непрерывна на , то она интегрируема на этом отрезке и по формуле Ньютона-Лейбница

= .

Тогда = , откуда .

Теорема доказана.

Пример. =

=.

19.7. Приложения определённого интеграла.

Дата добавления: 2014-01-07