Затухающие механические колебания

На практике всякое колебание материальной точки, которое не поддерживается извне, затухает, амплитуда его со временем уменьшается. Причина затухания обусловлена наличием сил, тормозящих движение, например, силы трения в месте подвеса маятника при его колебании или силы сопротивления среды. Чтобы понять этот вопрос, надо записать и решить уравнение второго закона Ньютона, принимая в расчет силы сопротивления. Ограничимся случаем, когда точка совершает прямолинейное колебание в вязкой среде. Сила сопротивления среды зависит от скорости движения точки. В случае малых скоростей её можно считать прямо пропорциональной скорости; она направлена в сторону противоположную скорости -, где - коэффициент сопротивления. Эта сила добавится к упругой силе. Запишем уравнение второго закона Ньютона:

и окончательно уравнение второго закона принимает вид:

, где , (3.25) Запишем решение уравнения второго закона Ньютона:

, (3.26)

где - амплитуда затухающих колебаний, она убывает со временем по экспоненциальному закону;

- циклическая частота затухающих колебаний;

или (3.27)

Изобразим график затухающих колебаний (Рис.14):

Рассмотрим характеристики, вводимые для характеристики затухающих колебаний.

Критическое сопротивление – это такое сопротивление, при котором система ведет себя апериодически (Рис.15):

Если вывести систему из положения равновесия, то она обязательно вернется в состояние равновесия, израсходовав всю энергию на работу против сил сопротивления. В такой системе преобладают силы сопротивления различной природы, и колебания в этом случае не возникают. Следовательно, если , тогда имеем:

и . (3.28)

Время релаксации () – это время, в течение которого амплитуда колебаний убывает в e раз (e – основание натурального логарифма) -

и после логарифмирования имеем . (3.29)

За время релаксации совершается полных колебаний .

Логарифмический декремент затухания () – равен натуральному логарифму отношения двух амплитуд взятых через период.

(3.30)

Добротность колебательной системы (Q) - безразмерная величина, равная произведению 2π на отношение энергии колебания в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний.

, (3.31)

т.к. энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то уравнение (3.31) принимает вид:

.

При малых значениях логарифмического декремента затухания добротность колебательной системы равна:

Дата добавления: 2014-01-07