Распределение Больцмана. Барометрическая формула

Благодаря наличию хаотического движения молекулы газа распределяются по всему объему, равномерно заполняя его только в том случае, если на молекулы газа не действуют внешние силы. Атмосферный воздух, окружающий Землю, не ограничен никакими стенками, но не разлетается по всему мировому пространству. Этому препятствует сила земного притяжения.

При отсутствии теплового движения () каждая молекула по законам механики должна была бы падать вниз. Все молекулы газа должны были бы скопиться у поверхности Земли, где их потенциальная энергия минимальна.

Благодаря борьбе этих двух взаимно противоположных факторов устанавливается подвижное равновесие. Концентрация молекул воздуха у поверхности Земли максимальна и постепенно уменьшается с высотой. Согласно уравнению по мере подъема над уровнем Земли будет также уменьшаться и атмосферное давление. Зависимость атмосферного давления от высоты называется барометрической формулой.

Для вывода барометрической формулы будем считать массу молекул и температуру воздуха постоянными. Выделим мысленно на некоторой высоте цилиндрический объем воздуха (Рис.10).

Он находится в равновесии, т.е. геометрическая сумма сил, действующих на выделенный объем, равна нулю. На выделенный объем действуют силы давления на верхнее и нижнее основания цилиндра и вес молекул воздуха внутри цилиндра. Полный вес молекул воздуха внутри цилиндра можно выразить, используя концентрацию () молекул воздуха и массу отдельной молекулы() - .

Силы давления на боковые грани цилиндра компенсируются. Запишем уравнение для сил, действующих на выделенный объем воздуха, спроектировав их на вертикальную ось:

. (4.21)

Используя уравнение , выразим концентрацию и подставим в уравнение (4.21), разделив переменные, получим уравнение:

.

Проинтегрируем последнее уравнение и выполним потенцирование:

.

Окончательно получаем барометрическую формулу:

(4.22)

Она указывает, что давление газа убывает с высотой по экспоненциальному закону. Кроме того, быстрота убывания давления газа с высотой зависит от массы его молекулы, т.е. от молекулярного веса: чем больше молекулярный вес, тем быстрее убывает давление газа с высотой. Барометрической формулой (4.22) можно пользоваться для определения атмосферного давления на разных высотах поскольку, температуру атмосферы можно считать одинаковой на разных высотах, что на самом деле выполняется для значительных разностей высот. Измеряя с помощью барометра давление в горах, можно согласно (4.23) определить высоту над уровнем моря. На этом принципе основано устройство авиационных высотометров – альтиметров.

Давление газа при данной температуре пропорционально концентрации частиц. Следовательно, концентрация молекул на высоте выражается соотношением:

. (4.23)

Уравнение (4.23) называется распределением Больцмана. Оно применимо для любых потенциальных полей и любых частиц.

Если принять, что на поверхности земли () давление воздуха и концентрация молекул равны соответственно и , то уравнения (4.22) и (4.23) принимают соответственно вид:

; . (4.24)

В этих уравнениях показатель степени экспоненты можно записать в виде

, где - потенциальная энергия молекулы на высоте .

Изобразим эти зависимости на графиках (Рис.11):

Допустим, что температура идеального газа резко понизилась (), В этом случае согласно уравнению (4.24) концентрация молекул газа резко уменьшится, стремясь к нулю, так как кинетическая энергия молекул исчезает, и распределение молекул по высоте определяется лишь силой притяжения к земле.

Если же , то концентрация молекул газа становится одинаковой на всех высотах, так как преобладает фактор теплового движения над притяжением к земле.

Решим уравнение (4.24) относительно температуры газа, прологарифмировав его:

Температура газа всегда положительна, следовательно, получается, что чем выше потенциальная энергия молекулы - - тем меньше концентрация частиц на этой высоте (). Такое распределение частиц по потенциальным энергиям (или по высоте над уровнем земли) называется нормальным распределением.

Если принять, что , то на более высоких потенциальных энергиях концентрация молекул будет более высокой, т.е. . Такое распределение частиц по потенциальным энергиям называется инверсным распределением. Инверсия реализуется в лазерах.

Дата добавления: 2014-01-07