Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на замкненій обмеженій множині

Функція, що неперервна на замкненій обмеженій множині D, досягає на ній найбільшого та найменшого значень. Цих значень вона може набувати як у внутріш­ніх точках множини D (кожна така точка є точкою екстремуму функції, у цій точці перші частинні похідні дорівнюють нулю або не існують), так і на її межі, тобто необхідне спеціальне дослідження межових точок множини D.

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції в області, обмеженій прямими x = -1, x = 2, y = -1, y = 3-x.

1. Дослідимо поводження функції всередині області KLMP. Знайдемо перші частинні похідні функції : , . Прирівнявши їх до нуля, дістанемо стаціонарні точки та . 2. Дослідимо поводження функції на межі області. Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо . Треба знайти найбільше та найменше значення цієї функції на відрізку .

Маємо , отже, функція зростає і тому досягає найбільшого значення на кінцях відрізка, тобто в точках і L(2; -1).

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо функцію z як функцію від змінної у: . Маємо на відрізку .

Отже, функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках L(2; -1 і M(2; 1).

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо функцію z як функцію від змінної х: , тобто . Маємо , звідки при . Отже, на відрізку функція може досягати найбільшого та найменшого значень у точках M(2; 1), та .

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо . Маємо , отже, функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках , .

Таким чином, функція може досягти найбільшого та найменшого значень тільки в таких точках: , , , , , , .

Знаходимо , , , , , , .

Отже, , і це значення досягається в точці (-1; -1), , і це значення досягається в точці (-1; 4).

Дата добавления: 2014-01-15