Кроме того, если выполнено условие

4) А В Ì W,

то имеем поле событий.

Очевидно обобщение на любое конечное число событий .

Событие, которое никогда не происходит (то есть не содержит ни одной точки), называется невозможным, обозначается символом Æ и

" (A Ì W) Þ (Æ Ì A).

Событие А = W всегда происходит и называется достоверным, при этом полагаем ` W = Æ.

События А ₁, А ₂ Ì W несовместны, если А ₁ Ç А ₂ = Æ (то есть события А ₁ и А ₂ не имеют общих точек).

События А ₁, А ₂,..., А_n образуют полную группу, если W Í , а если А_i, i = 1, 2, …, n, попарно несовместные, то есть " i ¹ j, j = 1, 2, …, n, А_i Ç А_j = Æ, тогда = W.

Если каждое появление события А влечет за собой появление события В, то говорят, что А есть часть В, то есть А Ì В.

Многие задачи теории вероятностей содержат бесконечное число исходов (например, точки на отрезке прямой, поверхности и др.), и мы можем столкнуться с трудностями теоретического характера, если любое подмножество отрезка или поверхности будем считать событием. Чтобы их избежать, мы вводим специальный класс ℱ подмножеств, состоящий из несчетных множеств, где любое его подмножество есть событие. Формально это выглядит следующим образом.

Пусть пространство W - произвольное множество (в том числе, несчетное), а ℱ класс подмножеств из множества W.

ℱ называется s- алгеброй, если

1) W Ì ℱ,

2) " А_i Ì ℱ, i Î N Þ ,

3) А Ì ℱ Þ ℱ.

Таким образом, алгебра событий замкнута относительно конечного числа теоретико-множественных операций (объединения, пересечения, отрицания), а s- алгебра замкнута относительно бесконечного числа этих операций.

Замечание. По условию, класс подмножеств ℱ содержится в пространстве W и одновременно, сам содержит это пространство. Возможность такой формализации становится понятной, если считать ℱ оператором «наведения порядка» в W. Тогда, если, например, W интерпретировать как единичный объем жидкости, а ℱ - как губку, то, если вся жидкость находится в губке всюду плотно, получается, что с одной стороны, губка находится в жидкости, а с другой стороны, вся жидкость находится в губке.

Мерой или количественной оценкой случайных событий из W служит вероятность р – число, удовлетворяющее следующим аксиомам.

Аксиома 1. Любому событию А Ì W, удовлетворяющему условиям 1) – 3), поставлено в соответствие неотрицательное число p = Р { А }, называемое его вероятностью.

Аксиома 2. Р { W } = 1.

Аксиома 3. Если события А ₁, А ₂,..., А_n,... попарно несовместны, то

.

Пространство W, с заданной на нем алгеброй (s - алгеброй) событий и определенной для каждого события вероятностью, которая удовлетворяет аксиомам 1-3, является центральным понятием, определяющим аксиоматический подход к построению теории вероятностей, введенный А.Н. Колмогоровым в 30-х годах прошлого века [2].

Определение. Тройку (W,ℱ, Р) будем называть вероятностным пространством.

Замечание. В данном курсе теории вероятностей мы обсуждаем только такие случаи, для которых любое подмножество W есть событие, а потому введение s- алгебры ℱ излишне. Однако в целях конструктивности изложения мы будем писать (W,ℱ, Р), подразумевая под вероятностным пространством (W, Р).

Дата добавления: 2014-01-15