КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Геометрические сплайны
С момента своего возникновения сплайны рассматривались как удобный инструмент в теории и практике приближения функций, в численных методах. С появлением компьютерной графики они получили широкое распространение и в этой области. Термин "сплайн" происходит от английского spline гибкая полоска стали для проведения плавных кривых через заданные точки. В компьютерной графике сплайны используются для задания поверхности обтекаемого тела. В основе этого подхода к описанию поверхностей лежит использование сравнительно несложных формул, позволяющих восстанавливать облик изделия с необходимой точностью. Достаточно типичной является следующая задача: по заданному массиву точек на плоскости (2D) или в пространстве (3D) построить кривую либо проходящую через все эти точки (задача интерполяции), либо проходящую вблизи от этих точек (задача сглаживания). При этом ограничимся лишь сплайнами, в построении которых используются кубические (в случае одномерных сплайнов - сплайновых кривых) и бикубические (в случае двумерных сплайнов - сплайновых поверхностей) многочлены. В компьютерной графике подобные сплайны применяются наиболее часто. Рассмотрим, прежде всего, что такое интерполяционный бикубический сплайн. Пусть на плоскости задан набор из (m+1)(n+1) точек (рис. 2) Рис.2. Набор точек на плоскости Добавим к каждой паре (xi, yj) третью координату zij (xi, yi, zij), т.е. получаем массив (xi, yi, zij), i=0,1,2,…,m; j=0,1,2,…,n. Прежде чем стоить поверхность, проходящую через все точки заданного массива, определим функцию, графиком которой будет эта поверхность. Интерполяционным бикубическим сплайном называется функция двух переменных S(x, у), обладающая следующими свойствами:
1) график этой функции проходит через каждую точку заданного массива, 2) на каждом частичном прямоугольнике функция представляет собой многочлен третьей степени по каждой из переменных, на всем прямоугольнике задания [x0, xm] [y0, yn] функция S(x, у) имеет по каждой переменной непрерывную вторую производную. Для того чтобы построить по заданному массиву {(xi, yi, zij)} интерполяционный бикубический сплайн, достаточно определить все 16mn коэффициентов. Отыскание коэффициентов сплайн-функции сводится к построению решения системы линейных уравнений, связывающих искомые коэффициенты .
Достоинства преложенного способа для решения линейных систем, возникающих в ходе построения сплайн-функций, существует много эффективных методов, к тому же эти системы достаточно просты; графики построенных сплайн-функций проходят через все заданные точки, полностью сохраняя первоначально заданную информацию. К тому же во многих задачах исходный набор точек задается приближенно и, значит, требование неукоснительного прохождения графика искомой функции через каждую точку этого набора оказывается излишним. Регулярной поверхностью называется множество точек M(x, y, z) пространства, координаты x, y, z которых определяются из параметрических уравнений поверхности
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) D, D некоторая область параметров на плоскости u и v. r = r(u, v), (u, v) D, Сглаживающая поверхность строится относительно просто, в виде так называемого тензорного произведения. Так принято называть поверхности, описываемые параметрическими уравнениями вида Рис.2. Контрольный граф Построение сглаживающих поверхностей удобно начать с описания уравнений элементарных фрагментов.
Здесь Mh матрица размерностью 4х4 имеет вид: Матрицы Q размером 4х4 строятся на основе информации координат угловых точек по частным производным в этих точках: Аналогично можно записать матрицы Qy и Qz.
При переходе с одного куска поверхности к другому обеспечивается совпадение координат всех точек граничащих кривых и совпадение первых производных в этих точках. Недостаток метода заключается в сложности получения значений частных производных в угловых точках. В матричной форме выражение примет вид: базисная матрица Безье. Элементарная бикубическая поверхность Безье обладает следующими свойствами: Рис.3. Пример поверхности Безье Для гладкого перехода от одного элементарного бикубического элемента Безье к другому необходимо совпадение четырех смежных управляющих точек и отсутствие изломов в стыке соприкасающихся полей. Элементарная бикубическая В-сплайновая поверхность имеет много положительных свойств: является гладкой; лежит в выпуклой оболочке порождающих ее 16 вершин; повторяет контрольную многогранную поверхность; обладает непрерывностью первой и второй производной, поэтому ее применяют для поверхностей со сложной топографией.
Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 2037; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |