Лекция №7. Туынды мен дифференциал

,

Егер f(x) функциясының нүктесінде туындысы бар болса, онда f(x) функциясы нүктесінде дифференциалданатын функция деп аталады.

2. Екі айнымалы функция

D облысында анықталсын.

.

.

Анықтама. f(x,y) екі айнымалы функция нүктесінде дифференциалданатын функция деп аталады, егер оның өсімшесін мына түрде жазуға болатын болса,

.

Мысалы: (

,

.

Теорема. функциясы D облысында анықталсын. Сол D облысында бұл функцияның дербес туындылары бар болсын. Егер дербес туындылар мына нүктеде үзіліссіз болса,

,

онда функциясы нүктесінде дифференциалданатын функция болады.

D облысында ,бар болса және үзіліссіз болса,

; ; ;

(0;0) нүктесінде берілген функция дифференциалданбайтын функция болады.

3.Комплекс айнымалы функцияның туындысы

;

Бұл жерде нақты екі айнымалы функциялар.

(1)

Aнықтама. Егер (1) шек бар болса ұмтылғанда, онда ол шек функцияның жиыны бойынша нүктесіндегі туындысы деп аталады және келесі символдармен белгіленеді:

; ;

Мысалы: Z

-=

Анықтама. формуласы нүктесінде дифференциалданатын функция деп аталады, егер сол нүктеде туындысы бар болады.

функциясы нүктесінде дифференциалданатын функция болсын.

мына шек бар болады.

(Егер )

(Егер)

(2)

(2) шарты нүктесінде дифференциалданатын функцияның өсімшесі.

Сонымен, бізге мынадай тұжырымдама: Егер f(z) функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, онда оның өсімшесі (2) түрде жазылады. Бұл теңдікте А- тұрақты комплекс сан, және - ке тәуелсіз, ал – шексіз аз функция, .

Өсімшенің I қосылғышы оның бас мүшесі деп аталады. Оны келесі символмен белгілейді: .

өрнегі f(z) функциясының дифференциалы деп атайды.

f(z)=z

(3)

(3) шарты f(z) функциясының дифференциалының формуласы.

W= f(z) келесі түрде жазылатын болса (2),

онда екі жағын – ке бөліп, мына теңдікке келеміз:

Ал, шекке көшсек,

Сонымен, кері тұжырымға келдік: Егер f(z) функциясының өсімшесі нүктесінде (2) түрде жазылатын болса, онда оның нүктесінде туындысы бар болады немесе функция дифференциалданатын болады.

Теорема. f(z) функциясы нүктесінде дифференциалданатын функция болу үшін, оның өсімшесі (2) түрде жазылуы қажетті және жеткілікті.

Аналитикалық функциялар

нүктесіндегі аналитикалық функция.

E жиынында аналитикалық функция.

Анықтама. f(z) функциясы нүктесінде аналитикалық функция деп аталады, егер ол функция нүктесінде және оның қайсыбір маңайының кез келген нүктесінде дифференциалданатын болса.

нүктесінде аналитикалық болу – ол күшті шарт, ал дифференциалдау – ол әлсіз шарт.

f(z) функциясын жиынында аналитикалық функция деп атайды, егер E жиынының әрбір нүктесінде аналитикалық функция болса немесе E жиынының әрбір нүктесінде дифференциалданатын функция болса.

Дата добавления: 2014-01-15