Расчет надежности восстанавливаемых резервированных систем

Процесс функционирования восстанавливаемой системы является Марковским случайным процессом с дискретными состояниями, то есть дискретным случайным процессом. Случайный процесс называется дискретным, если его состояния можно пронумеровать и переход из состояния в состояние происходит скачком.

Р_осн(t)

Для примера рассмотрим восстанавливаемую систему, в которой используется постоянное общее резервирование с кратностью резервирования m равной единице, то есть дублирующую систему. ССН такой системы будет иметь следующий вид:

При этом будем считать, что основная и резервная системы являются одинаковыми и равнонадежными, то есть

Р_осн(t) = Р_рез(t) = Р(t).

Причем надежность этих систем имеет показательный закон, то есть

Р(t) = е ^-λ·t – вероятность безотказной работы основной или резервной системы.

Р_в(t) = 1- е ^-μ·t – вероятность восстановления работоспособного состояния основной или резервной системы.

Состояние резервируемой восстанавливаемой системы отображается графом состояния (рис.2):

Состояние рассматриваемой системы на графе означает:

G₀ – основная и резервная системы работоспособны;

G₁ – одна из систем (основная или резервная) отказала, а вторая работоспособна;

G₂ – и основная, и резервная системы отказали; резервированная система неработоспособна.

Вероятность нахождения резервированной системы в соответствующих состояниях обозначены следующим образом: Р₀(t), P₁(t), P₂(t). Переход системы из одного состояния в другое происходит под действием отказов с интенсивностью λ и восстановлений с интенсивностью μ.

Дуге, идущей из состояния G₀ в состояние G₁ приписано значение интенсивности отказа равное 2λ, так как в состоянии G₀ работают две системы и отказать может или основная система с интенсивностью λ или резервированная система с такой же интенсивностью.

Дуге, идущей из состояния G₂ в состояние G₁ приписано значение интенсивности восстановления 2μ, что означает условие неограниченного восстановления: одновременно могут восстанавливаться обе отказавшие системы (и основная и резервная). В этом случае одновременно работают две бригады ремонтников.

В общем случае вид графа состояний резервированной восстанавливаемой системы зависит от следующих факторов:

1) от способа структурного резервирования;

2) от кратности резервирования m;

3) от режима восстановления (неограниченное или ограниченное).

Для примера приведем три графа состояний резервированной восстанавливаемой системы, учитывающих перечисленные факторы, определяющие вид графа состояний (рис.3).

Рисунок 3 – Графы состояний резервированной восстанавливаемой системы с кратностью m = 1.

На рис. 3, а представлен граф состояния системы с постоянным общим резервированием и с ограниченным восстановлением.

На рис. 3, б изображен граф состояния системы с общим резервированием способом замещения и неограниченным восстановлением.

На рис. 3, в показан граф состояний системы с общим резервированием способом замещения и ограниченным восстановлением.

Граф состояний системы с постоянным общим резервированием с кратностью резервирования m = 2 (рис.4) имеет следующий вид (рис.5):

Состояния на графе имеют следующий смысл:

G₀ – и основная и резервные системы работоспособны;

G₁ – одна из систем (основная или резервная) отказала, а остальные системы работоспособны;

G₂ – отказали две из трех систем, а одна система работоспособна;

G₃ – отказали и основная и обе резервные системы;

3μ - означает, что эта система является системой с неограниченным восстановлением (работают одновременно три системы);

3λ – соответствует тому, что могут отказать или основная или одна из резервных систем.

Случайный дискретный процесс называется марковским, если для любого момента времени t вероятности всех состояний системы в будущем зависят только от ее состояния в настоящем и не зависят от того, когда и как эта система перешла в это состояние.

Если потоки отказов и восстановлений, переводящие систему из состояния в состояние являются ординарными и без последствия, то есть пуассоновскими, то случайный процесс есть марковский.

Марковский случайный процесс задается системой дифференциальных уравнений (линейных), которую предложил академик Колмогоров А.Н.. Дифференциальные уравнения рассматриваемой системы для заданного графа составляются по следующим правилам:

1) число дифференциальных уравнений равно числу состояний графа;

2) производная вероятности нахождения системы в каком–либо состоянии равна алгебраической сумме такого числа слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием;

3) каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока событий (отказов или восстановлений), переводящей систему по данной стрелке на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка;

4) слагаемое будет иметь знак «-», если стрелка исходит из данного состояния, и знак «+», если стрелка направлена в данное состояние.

Запишем систему дифференциальных уравнений для графа представленного на рис.2:

(1)

Данная система уравнений (1) решается или численными методами или с использованием преобразований Лапласа. Переменными в системе уравнений (1), которые необходимо найти, являются вероятности нахождения системы в состояниях P_i(t) (i = 0,1,2).

Систему дифференциальных уравнений (1) можно привести к системе линейных алгебраических уравнений, если воспользоваться предельной теоремой Маркова А. А.. Сформулируем эту теорему:

Если все интенсивности потоков событий (μ и λ) постоянны, а граф состояний таков, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое состояние за конечное число шагов, то предельные состояния существуют и не зависят от начального состояния системы.

В соответствии с этой теоремой при t→ ∞ вероятности нахождения системы в безотказных состояниях P₀(t), P₁(t) будут равны нулю, то есть , при i = 0, i = 1; а вероятность нахождения системы в состоянии отказа (G₂) будет равна единице, то есть . Поэтому левые части уравнений системы (1) можно приравнять нулю. Тогда получим систему линейных алгебраических уравнений следующего вида:

(2)

Швейцарский математик Гаусс доказал, что система линейных уравнений тогда имеет решение, когда все уравнения, входящие в систему, являются линейно независимыми. Это означает, что ни одно из уравнений системы (2) не может являться суммой каких-то других уравнений, входящих в эту систему. Система уравнений (2) является линейно зависимой. Например, если сложим первое и второе уравнения, то мы получим третье; сумма второго и третьего даст первое; сумма первого и третьего даст второе. В связи с этим исключим из системы уравнений (2) второе уравнение и добавим в систему (2) нормировочное уравнение следующего вида:

P₀(t)+P₁(t)+P₂(t)=1.

Тогда система уравнений (2) примет следующий вид:

(3)

Система уравнений (3) включает три линейно независимых уравнения и она имеет решение. Систему уравнений (3) с использованием правила Крамера решим следующим образом:

Вероятность нахождения системы в i – ом состоянии, то есть P_i(t), i = 0, 1, 2, определяется следующим образом:

i=0,1,2, (4)

где D – определитель, составленный из коэффициентов при переменных P_i(t);

D_i – определитель, в котором i – ый столбец в определителе D заменяется столбцом свободных членов.

Безотказными состояниями в рассматриваемой системе являются G₀ и G₁; отказное состояние – G₂. Для восстанавливаемой резервированной системы показателями надежности являются комплексные показатели надежности: k_п и k_г. После вычисления вероятности P_i(t) по формуле (4) определяют численное значение коэффициента готовности:

k_Г =P₀(t) + P₁(t).

Он характеризует вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии.

Коэффициент простоя k_п = P₂(t) определяет вероятность того, что система находится в режиме восстановления.

На последнем этапе расчета осуществляется сравнение вычисленного значения коэффициента готовности с заданным значением:

(5)

Если неравенство (5) не выполняется, то увеличиваем кратность резервирования m на единицу и расчет надежности проводим повторно.

Алгоритм решения задачи расчета надежности восстанавливаемых резервированных систем следующий.

В качестве исходных данных при расчете задаются:

1) способ резервирования и кратность резервирования m;

2) заданное значение k_{г.задан.};

3) способ восстановления работоспособного состояния системы (ограниченное или неограниченное восстановление).

Требуется вычислить значение коэффициента готовности k_г и сравнить его с заданным значением.

Решение данной задачи производится в следующей последовательности:

1) вычерчивается граф состояний системы;

2) записывается система линейных алгебраических уравнений вида (2);

3) приводим систему уравнений (2) к системе линейных независимых уравнений (3);

4) составляем определители D и D_i (i = 0,1,2);

5) вычисляем вероятности нахождения системы в i-ых состояниях по формуле (4);

6) вычисляем коэффициент готовности k_г как сумму вероятностей нахождения системы в работоспособном состоянии;

7) производим сравнение вычисленного значения k_г с заданным значением.

Дата добавления: 2014-01-20